Обобщенная расходимость тензора в ОТО

Нет, это, вообще говоря, неверно для тензоров более высокого ранга. Общее уравнение расходимости вполне контравариантного тензора в терминах оператора производной по координате$\partial_\mu$является

$$\nabla_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} = \partial_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} + \Gamma^\mu {}_{\mu \rho} T^{\rho \nu_1 \dots \nu_n} + \sum_{i = 1}^n \Gamma^{\nu_i} {}_{\mu \rho} T^{\mu \nu_1 \dots \rho \dots \nu_n}.$$ У нас также есть тот факт, что $$\Gamma^\mu {}_{\mu \rho} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\mu \sqrt{|g|}.$$ Таким образом, $$\nabla_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\mu \left( \sqrt{|g|} T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} \right) + \sum_{i = 1}^n \Gamma^{\nu_i} {}_{\mu \rho} T^{\mu \nu_1 \dots \rho \dots \nu_n}.$$ Эта последняя сумма не будет равна нулю для общего тензора. Однако некоторые или все члены могут обращаться в нуль для тензоров с определенной структурой симметрии. В частности, если$T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n}$антисимметричен по всем своим индексам, то любое стягивание двух его индексов с симметричными индексами символов Кристоффеля автоматически обращается в нуль; и, таким образом, вся сумма уходит.

Ссылки на то, как получить ковариантную производную общего тензора, см. в главе 5 « Первого курса общей теории относительности» Шютца , где описан подход, основанный на координатах, или в главе 3 « Общей теории относительности » Вальда , где представлен более общий подход.