Ковариантный лагранжиан высшего порядка

Я ищу примеры лагранжиана, которые имеют по крайней мере второй порядок по производным и являются ковариантными, предпочтительными для теорий поля. До сих пор мне удавалось найти только первого порядка (например, Клейна-Гордона-лагранжиана) или нековариантные (например, КдФ). Также приветствуются некоторые ссылки на литературу об общих свойствах таких систем. Спасибо

Клейна-Гордона можно переписать как ( ∂ ф ) 2 "=" − ф ◻ ф + пограничные условия! И вы, наверное, сами можете написать много таких лагранжианов. Например, вы можете ударить по полям со степенями лапласиана, который является ковариантным. Ничто не мешает вам писать ◻ Икс Ф мю ν ( Икс ) ◻ у Ф мю ν ( у ) .
@Vibert: Конечно, я могу построить такой лагранжиан самостоятельно. Но меня интересуют полезные, например, описывающие реальные физические системы. Например, общая теория относительности является таким примером, но я ищу более легкий.
Я не думаю, что есть много более простых. Добавляя производные, вы увеличиваете «размерность» оператора в своем лагранжиане и теряете возможность перенормировки. Это часто используется в «теории эффективного поля» (с приложениями в физике ароматов, физике Хиггса/EWSB и т. д.), но не в обычных моделях учебников.
Существует запретная теорема («теорема Остраградского»), которая гласит, что действия более высокого порядка приводят к неограниченным энергиям и нестабильным системам, см. раздел 2 arXiv: astrop-ph/0601672 для получения дополнительной информации о теореме Остраградского...

Ответы (2)

I) Как отмечает в комментарии пользователь Vibert, уравнения Эйлера-Лагранжа не изменяются . 1 путем добавления членов полной дивергенции к плотности лагранжиана

(1) л   ⟶   л + г мю Ф мю .

Добавление членов полной расходимости приводит к неисчерпаемому источнику лагранжианов более высокого порядка.

II) Как правило, без какого-либо механизма сокращения [например, что часть лагранжевой плотности является (тайно) полной дивергенцией] н - действие приказа приведет к 2 н уравнения Эйлера-Лагранжа -порядка.

III) Пример. Плотность лагранжиана Эйнштейна -Гильберта (EH)

(2) л Е ЧАС   ∼   − г { г мю ν р мю ν ( Г л С , ∂ Г л С ) − 2 Λ }

зависит как от временных, так и от пространственных производных метрики второго порядка г мю ν . Это, конечно, важный пример. Здесь Г л С относятся к символам Леви-Чивиты (LC) Кристоффеля , которые, в свою очередь, являются производными первого порядка метрики г мю ν . Однако можно добавить термин полного расхождения, чтобы отобразить лагранжевую плотность первого порядка, как упоминает в комментарии пользователь drake. Таким образом, уравнения Эйлера-Лагранжа для действия Эйнштейна-Гильберта С Е ЧАС [ г мю ν ] , т. е. уравнения поля Эйнштейна (ЭФЭ), имеют не четвертый порядок, как можно было бы наивно ожидать, а все же второго порядка.

IV) Лагранжианы более высокого порядка также обсуждаются во многих постах Phys.SE, см., например, здесь и здесь .

--

1 Обратите внимание, что добавление членов полной дивергенции (1) может повлиять на последовательный выбор граничных условий для теории.

Отмены более высокого порядка нет. Действие Эйнштейна-Гильберта зависит от временных производных второго порядка через граничный член, т. е. возникает действие, которое отличается от действия Эйнштейна-Гильберта граничным членом и дает уравнения Эйнштейна. Это очень похоже на лагранжиан Клейна-Гордона и л "=" ф ( ∂ 2 − м 2 ) ф . Таким образом, в отношении вопроса действие Эйнштейна-Гильберта является каким-то маргинальным.

Вы можете посмотреть на лагранжиан для частиц-галилеонов, например, в этой статье . Он обладает тем свойством, что уравнения движения остаются 2-го порядка по производным и ковариантными.

Ковариантный лагранжиан высшего порядка
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v