Можно ли определить тензор энергии-импульса для классических точечных частиц из КТП?

Есть ряд проблем с локализацией в пространстве в КТП. Но даже в обычной квантовой механике волновая функция частицы в определенном положении будет расширяться с течением времени из-за принципа неопределенности, поэтому дельта-функция на все время определенно невозможна.

Поэтому вместо этого я отвечу на ваш вопрос о собственном состоянии импульса. Я не буду показывать все расчеты, но покажу, как сделать их самостоятельно и увидеть, что для конечного объема V в системе покоя частицы$T_{00}=m/V$и все остальные компоненты исчезают.

---

Прежде всего, поскольку ваше выражение для$T$включает произведения полей в той же точке пространства-времени, которая нам нужна для нормального порядка. Итак, чтобы рассчитать$\langle q|T_{\mu\nu}|q\rangle$, вам нужно будет найти$\langle q|:\partial_\mu\phi(x)\partial_\nu\phi(x):|q\rangle$и$\langle q|:\phi(x)^2:|q\rangle$

Для этого я буду следовать нормализации, например, учебника Пескина. Свободное скалярное поле есть

$$\phi(x)=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac {1}{\sqrt{2E_p}}\left(a_p e^{-ip\cdot x}+a^\dagger_p e^{+ip\cdot x}\right)$$ А операторы уничтожения, действующие на собственные состояния импульса, дают $$a_p|q\rangle=\sqrt{2E_p}(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q)|0\rangle$$ Так что, если вы попробуете это сами, вы найдете $$\langle q|:\phi(x)\phi(y):|q\rangle=2\cos q(x-y),\qquad\langle q|:\partial_\mu\phi(x)\partial_\nu\phi(y):|q\rangle=2\cos q(x-y)q_\mu q_\nu$$ Итак, взяв$x=y$, $$\langle q|T_{\mu\nu}|q\rangle =2q_\mu q_\nu,$$ поэтому в системе покоя частицы $$\langle T_{00}\rangle=2m^2$$ .

---

Теперь важно понять, что состояния$|q\rangle$, не нормализованы, чтобы быть безразмерными. С,

$$\langle p|q\rangle=2E_p(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q),$$ в коробке объемом$V$у нас есть, $$\langle p|p\rangle = 2E_p V.$$ Если мы хотим рассмотреть ожидаемое значение, имеет смысл нормализовать эти состояния, чтобы они имели единичную норму.

Таким образом, используя состояния нормализованного импульса в системе покоя

$$\langle T_{00} \rangle = \frac{2m^2}{2mV} = \frac{m}{V}$$