Почему мы требуем, чтобы контрчлены в теории φ3φ3\varphi^3 были O(g2)O(g2)O(g^2)?

В книге Средненицкого QFT, раздел 9, он вводит ф 3 лагранжиан:

(9.1) л "=" − 1 2 Z ф ( ∂ мю ф ) ( ∂ мю ф ) − 1 2 Z м м 2 ф 2 + 1 6 Z г г ф 3 + Д ф .

Затем в следующих нескольких главах он говорит, что мы «ожидаем».

(1) Z я   "="   1 + О ( г 2 ) , я е { ф , м , г } ,
а затем он идет дальше и предполагает, что это тот случай, когда решает для них в разделе 14, но он никогда не оправдывает это предположение. Почему это оправдано, т. е. почему они не могут быть 1 + О ( г ) ?

Я думаю, что это как-то связано с поправкой низшего порядка к пропагатору, представляющему собой диаграмму древовидного уровня с двумя вершинами, а не с одной, что приводит к О ( г 2 ) коррекция. Но почему бы не предусмотреть контрусловия О ( г ) поправку, чтобы они доминировали над поправкой низшего порядка к пропагатору вместо дополнительных вершин?

Ответы (3)

Факторы перенормировки Z я производятся с помощью циклических диаграмм. Для Z ф и Z м , это означает диаграммы с двумя внешними ветвями, так как эти множители умножают операторы с двумя множителями поля ф . Вы не можете написать петлевую диаграмму (или любую диаграмму!) с двумя внешними ветвями и только с одной трехчастичной вершиной. Так как каждые три- ф вершина связана с коэффициентом связи г , вы не можете получить поправку к пропагатору, не имея по крайней мере двух вершин и, следовательно, общего г 2 .

Тот же аргумент применим к Z г . Обратите внимание, что каждая трехточечная вершина, которую вы добавляете на диаграмму, меняет количество линий с четного на нечетное или наоборот. Таким образом, диаграмма с одним множителем г имеет нечетное количество внешних линий; диаграмма с г 2 имеет четное число; и вы возвращаетесь к нечетному номеру в заказе г 3 . Это фактически гарантирует, что каждый Z я представляет собой степенной ряд в г 2 , не просто г .

Есть милый аргумент, основанный на симметрии, по крайней мере, когда Д "=" 0 трактуется как возмущение. г "=" Д "=" 0 теория имеет Z 2 симметрия ф → − ф . Позволять Икс быть некоторой наблюдаемой, отличной от нуля на уровне дерева, допускающей расширение ряда Икс "=" Икс ( г ) . Затем Икс ( г ) должна быть четной функцией г . КЭД!

Это слишком мило, например, это так кратко, что я не понимаю, к чему ты клонишь.
Я думаю, что в логике не хватает нескольких шагов. Вы продвигаете г к Z 2 Спурион, трансформирующийся в г → − г под Z 2 ?
@MannyC да, говоря современным языком, можно сказать, что теория Z 2 инвариант, если г и Д превращаются в шпоры.

Экв. ОП. (1) в общем случае неверно . Это существенно зависит от выбора условий перенормировки † , см. уравнения (14.7), (14.8) и (16.14) в работе. 1. Например, только продукт Z г г входит в лагранжеву плотность (9.1), поэтому очевидно, что необходимо какое-то условие, чтобы зафиксировать Z г и г индивидуально. Выбор, сделанный в Ref. 1, пожалуй, самый простой выбор.

Конечно, сердце О ( г 2 ) аргумент уже угадан OP и уточнен в ответе пользователя Buzz.

Использованная литература:

  1. М. Средненицкий, QFT, 2007; Главы 9 + 14 + 16. Предварительный PDF-файл доступен здесь .

--

† 2 условия перенормировки в уравнении. (9.2) из ​​работы. 1. оказываются не неактуальными для ур. (1).

Почему мы требуем, чтобы контрчлены в теории φ3φ3\varphi^3 были O(g2)O(g2)O(g^2)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v