Ковариантные производные

В вашем вопросе есть ряд неточностей, в основном связанных с путаницей группы Ли и ее алгебры Ли. Я полагаю, что это затруднит чтение математической литературы. Сказав это, первый том Кобаяши и Номидзу, вероятно, является канонической ссылкой.

Попробую подвести итог. Позвольте мне предположить, что$H$подключен.

Структура раскола$\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}$алгебры Ли$\mathfrak{g}$из$G$в алгебру Ли$\mathfrak{h}$из$H$и дополнение$\mathfrak{m} = \mathrm{Span}(\lbrace Y_a\rbrace)$, говорит, что у вас есть редуктивное однородное пространство. Такие однородные пространства имеют каноническую инвариантную связность и, следовательно, каноническое понятие ковариантной производной.

Карта$G \to G/H$определяет принципала$H$-пучок. Ваш$\Omega$является локальным разделом этого расслоения. На$G$у вас есть левоинвариантная форма Маурера-Картана$\Theta$, который$\mathfrak{g}$-ценный. Вы можете использовать$\Omega$отступить$\Theta$к$G/H$: это локально определенная форма на$G/H$со значениями в$\mathfrak{g}$. Для матричных групп это действительно так, что$\Omega^*\Theta = \Omega^{-1}d\Omega$, но на самом деле вы можете использовать это обозначение для большинства вычислений, не слишком беспокоясь.

Разложить$\Omega^{-1}d\Omega$судя по расколу$\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}$:

$$\Omega^{-1} d\Omega = \omega + \theta$$ куда $\omega$это $\mathfrak{h}$компонент и $\theta$это $\mathfrak{m}$составная часть. Это следует из того $\theta$поточечно определяет $H$-эквивариантный изоморфизм касательного пространства в $G/H$а также $\mathfrak{m}$, с $H$действующий на $\mathfrak{m}$ограничением на $H$сопряженного действия $G$на $\mathfrak{g}$а также $H$действующий на $G/H$через представление линейной изотропии. Это означает, что $\theta$представляет собой паяльную форму .

С другой стороны$\omega$является$\mathfrak{h}$-значная и определяет одноформенность связи. Вы можете проверить это, если измените параметризацию$\Omega$, тогда$\omega$трансформируется как соединение под локальным$H$-трансформации.

Затем это позволяет дифференцировать сечения однородных векторных расслоений на$G/H$, такие как тензоры. В ваших обозначениях и предположении, что$\psi$является сечением одного такого расслоения, ассоциированным с представлением$\rho$из$H$, ковариантная производная будет

$$\nabla \psi = d\psi + \rho(\omega)\psi~,$$ где я также обозначаю через $\rho$представление алгебры Ли $H$.

Структурное уравнение Маурера-Картана, которому удовлетворяет$\Theta$является

$$d\Theta = - \tfrac12 [\Theta,\Theta]$$ и это тянет назад к $G/H$чтобы дать следующие уравнения $$d\theta + [\omega,\theta] = -\tfrac12 [\theta,\theta]_{\mathfrak{m}}$$ а также $$d\omega + \tfrac12 [\omega,\omega] = - \tfrac12 [\theta,\theta]_{\mathfrak{h}}$$ которые говорят, что кручение $T$и кривизна $K$из $\omega$даны соответственно $$T = -\tfrac12 [\theta,\theta]_{\mathfrak{m}} \qquad\mathrm{and}\qquad K = - \tfrac12 [\theta,\theta]_{\mathfrak{h}}.$$

Следует иметь в виду, что в целом$\nabla$не будет связностью Леви-Чивиты какой-либо инвариантной метрики, так как имеет кручение. (Если (и только если) кручение равно нулю, у вас есть (локально) симметричное пространство.) Если вас интересует связность Леви-Чивиты инвариантной метрики, вам нужно изменить инвариантную связность, добавив искривление тензор, убивающий кручение. Детали проработать не сложно.