Геометрическая/визуальная интерпретация алгебры Вирасоро

Я пытался получить некоторое представление об алгебрах Вирасоро, но пока безуспешно.

Математическое определение кажется ясным ( см. http://en.wikipedia.org/wiki/Virasoro_алгебра ). Я просто не могу получить некоторую интуицию об этом. В качестве центрального расширения алгебр Витта я надеялся, что должна быть какая-то геометрическая интерпретация, поскольку я довольно хорошо представляю себе алгебры Витта.

Если у кого-нибудь есть хорошая геометрическая или визуальная интерпретация алгебры Вирасоро, я был бы очень признателен!

Ответы (2)

Простейшим визуальным представлением группы Ли, связанной с алгеброй Вирасоро (Ли), является группа репараметризаций окружности.

Представьте себе, что о является периодической величиной с периодичностью 2 π . Инфинитезимальный диффеоморфизм задается периодической функцией Δ о ( о ) с периодичностью 2 π . Таким образом, генераторы репараметризаций могут быть записаны как ф ( о ) ∂ / ∂ о .

Возможные функции ф ( о ) может быть разложена в ряд Фурье, поэтому естественным базисом образующих репараметризаций окружности являются

л м знак равно я опыт ⁡ ( я м о ) ∂ ∂ о
В качестве упражнения посчитайте, что коммутатор [ л м , л н ] то, что должно быть согласно алгебре Вирасоро, а именно ( м − н ) л м + н .

Алгебра Вирасоро для замкнутой струны имеет две копии приведенной выше алгебры, а для открытой струны это только одна копия, но она отличается от «голоморфных» производных, которые я использовал выше. Существуют различные связанные способы представления алгебры, но репараметризация окружности является самым простым примером.

Ты говоришь об алгебре Витта? Я думаю, что у Knoten была проблема с визуализацией центрального расширения этого. Я это понимаю Диф ( С 1 ) , группа диффеоморфизмов на единичной окружности — это группа, связанная с алгеброй Витта (как вы говорите). Но знаете ли вы, существует ли такая группа для алгебры Вирасоро? Многие книги, кажется, предполагают, что это не так, но я не думаю, что видел доказательства этого.
Ага, понятно. Очевидно, не существует визуального представления центрального расширения вне гильбертова пространства, которое отличалось бы от с знак равно 0 алгебра. Причина в том, что центральное расширение имеет с -числа в коммутаторах. ;-) Любой с -числа могут быть представлены только как преобразование фазы в гильбертовом пространстве, а преобразование фазы вектора в гильбертовом пространстве не меняет характер этого состояния "физически" или "геометрически" - речь идет только о нормализации . Таким образом, центральные расширения — это просто центральные расширения, и они разделяют исходные визуализации с с знак равно 0 .
Правильно ли я понял, что вы говорите, что я могу использовать ту же самую геометрическую интерпретацию алгебры Витта и применить ее к Вирасоро?
Конечно, центральное расширение алгебры — это всего лишь очень тонкая модификация исходной алгебры, которая не меняет ее физического смысла. Для каждого центрального расширения можно получить исходную алгебру, просто установив все с генераторы -числа к нулю. Это сохраняет тождество Якоби и т. д., потому что с -число генераторов коммутировалось с чем-то еще, во всяком случае - ну, это и означает, что он был "центральным". ;-) В теории струн алгебра Вирасоро по-прежнему является алгеброй репараметризаций мирового листа, даже для с ≠ 0 .
Звучит достаточно логично :) Беру
Может быть, мне следовало сказать два года назад, что правая часть алгебры Вирасоро — и другие — содержит правильные операторы, и они соответствуют скобкам Пуассона; и они могут содержать с -числа. Они похожи на я ℏ в [ Икс , п ] . В более общем случае они умножаются на более высокую степень ℏ . Во всяком случае, эти с -числовые термы исчезают — даже по отношению к операторнозначным термам — в классическом ℏ → 0 предел, что означает, что классическая интерпретация не зависит от этих с -число терминов (то же самое для центрального расширения).

Есть настоящая группа Ли Д я ф ф ~ ( С 1 ) который является U ( 1 ) центральное расширение реальной группы Ли Д я ф ф ( С 1 ) , а алгебра Вирасоро является алгеброй Ли этой группы Ли.

Центральная пристройка Д я ф ф ~ ( С 1 ) может быть реализована геометрически двумя способами. Первый — через вложение в гильбертово пространство (как в книге Прессли-Сигала), а второй — через линейное расслоение детерминанта.

Все это прекрасно объяснено в Приложении D к книге Хуанга "Двумерная конформная геометрия и алгебры вершинных операторов".

Интересно! Я предполагаю, что дело в том, что алгебра Вирасоро могла бы выглядеть как алгебра Ли группы Ли, но, по-видимому, когда речь идет о конкретном способе ее действия, например, в случае 1+1D CFT, ее нельзя интерпретировать как действие такой Группа лжи.
Нет. Нет проблем - полная группа Ли Д я ф ф ~ ( С 1 ) действует в 1+1d CFT, а не только в алгебре Ли. Это объясняется в книге Хуана. Это народное заблуждение, что есть какая-то "проблема", что действует только "алгебра Ли".
То, что вы называете народным недоразумением, похоже, по-разному разрешается в книге Шоттенлохера «Математическое введение в конформную теорию поля», раздел 5.4 касается отсутствия сложной группы Вирасоро.
Нет никаких разногласий между тем, как эта проблема решается в книге Шоттенлохера и в книге Хуанга. См. последний абзац в разделе 5.4 книги Шоттенлохера.
Книга Шоттенлохера тоже замечательная, но в разделе 5.4 он немного неверно описывает проблему. Шоттенлохер считает группу Diff(S^1) диффеоморфизмов окружности значимой для конформной теории поля. Так думают и физики, и это приводит к путанице. Скорее это фактор-группа Diff (S ^ 1) / Rot (S ^ 1) диффеоморфизмов S ^ 1, разделенная поворотами, что важно для конформной теории поля.
Причина в том, что группа M := Diff(S^1)/Rot(S^1) имеет красивую геометрическую интерпретацию: это «группа отображений Римана». Точнее, это множество всех инъективных отображений из замкнутого единичного круга, ф : Д → ф ( Д ) , которые голоморфны внутри Д и сгладить до границы Д , нормируемое условием ф ( 0 ) знак равно 1 а также ф ′ ( 0 ) знак равно 1 . Мы можем назвать такое отображение «отображением Римана», поскольку именно о таких отображениях идет речь в теореме об отображении Римана.
Так что именно эту группу и имеют в виду физики, когда говорят о «группе конформных преобразований».
Это красивая группа. На самом деле, у него даже есть красивая комплексная структура, которая является кэлеровой (см. Кириллов, кэлеровы структуры на группе диффеоморфизмов окружности), и каноническое центральное расширение, которое является «группой Вирасоро». Это расширение также имеет геометрическое значение! Это то, что происходит, если вы отказываетесь от требования ф ′ ( 0 ) знак равно 1 выше.
Давно я об этом не думал, и надеюсь, что не запутался, но я думаю, что суть в этом. Правильная «нецентрально расширенная» группа в CFT - это M, а не Diff (S ^ 1). Как только вы это осознаете, все остальные проблемы исчезнут.
Рекомендую статью Кириллова, о которой я упоминал выше. Все это согласуется с Хуангом и Шоттенлохером и предлагает хорошее обобщение.
Геометрическая/визуальная интерпретация алгебры Вирасоро
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v