КПД двигателя Стирлинга и теорема Карно

Обновленный ответ. 2017-07-01

В этом нет противоречия, потому что ваш анализ включает только то, что происходит с газообразным рабочим веществом в двигателе Стирлинга, и игнорирует важнейший компонент двигателя, называемый регенератором. Если регенератор не включен в качестве компонента двигателя, когда мы проводим анализ эффективности, то у нас нет устройства, которое можно было бы квалифицировать как тепловой двигатель, работающий между двумя температурами, и поэтому мы не должны ожидать, что оно будет соблюдать принцип Карно. Теорема, как я изложил в исходной версии этого ответа.

Однако, если мы должным образом учтем регенератор, то обнаружим, что КПД двигателя есть КПД Карно.

Конечно, весь анализ здесь является идеализированным, в котором мы предполагаем, например, что нет потерь энергии из-за трения в компонентах двигателя.

Подробности.

Двигатель Стирлинга сложнее, чем$P$-$V$диаграмма, нарисованная в постановке вопроса, кажется, указывает. Если мы концептуально сведем двигатель к его простейшей форме, он содержит два основных компонента:

1. Газообразное рабочее вещество . Это часть двигателя, термодинамическое состояние которого перемещается по кривой в$P$-$V$диаграмма.
2. Регенератор . _ Эта часть двигателя поглощает и накапливает энергию, отдаваемую газообразным рабочим телом за счет теплопередачи в процессе.$2\to 3$а затем возвращает эту же энергию газообразному рабочему телу в процессе$4\to 1$.

Важным моментом является то, что когда регенератор включен, нет чистой передачи тепла в двигатель или из двигателя во время процессов.$2\to 3$а также$4\to 1$. Энергия, которая уходит из газообразного рабочего тела в процессе$2\to 3$за счет теплопередачи сохраняется в регенераторе, и это тепло затем отдается обратно рабочему телу в процессе$4\to 1$. Во время этих частей цикла тепло не передается между двигателем и окружающей средой.

Отсюда следует, что только тепло, передаваемое двигателю в целом, передается во время$1\to 2$. Это квалифицирует устройство как тепловую машину (см. старый ответ ниже), а эффективность двигателя затем рассчитывается как отношение чистой выходной мощности, деленное на подводимое тепло в процессе.$1\to 2$. Это дает эффективность Карно , как и должно быть.

В моем первоначальном ответе утверждалось, что нарисованный цикл не представляет работу тепловой машины, работающей между двумя температурами, но я пренебрегал регенератором, и я полагаю, что это то, что вы неявно сделали в вычислении, которое вы первоначально выполнили, и это дало неправильная эффективность.

Оригинальный, неполный ответ.

Противоречия нет. Цикл Стирлинга, который вы нарисовали выше, обратим, но не работает между двумя резервуарами при фиксированных температурах.$T_1$а также$T_2$. Изоволюметрические части цикла работают при постоянно меняющихся температурах (вспомните закон идеального газа).

Старое дополнение. Обратите внимание, что в термодинамике говорят, что тепловой двигатель работает (или работает) между (двумя резервуарами при) температурах.$T_1$а также$T_2$при условии, что все тепло, которое он поглощает или отдает, происходит при одной из этих двух температур.

Чтобы придать правдоподобности этому определению (которое по существу подразумевается в большинстве дискуссий о тепловых машинах, которые я видел), вот цитата из текста Ферми по термодинамике:

В предыдущем разделе мы описали обратимую циклическую машину, машину Карно, которая выполняет работу$L$в каждом своем цикле, поглощая некоторое количество тепла$Q_2$от источника при температуре$t_2$и отдавая некоторое количество теплоты$Q_1$к источнику с более низкой температурой$t_1$. Мы скажем, что такой двигатель работает между температурами$t_1$а также$t_2$.

Цикл Стирлинга, как вы его описываете, необратим. Перенос тепла от термальных резервуаров по путям 4->1 и 2->3 не является обратимым процессом, так как тепло передается между двумя объектами с разными температурами. Чтобы обратить процесс вспять, вам пришлось бы самопроизвольно передавать тепло от более холодного резервуара к более горячему, что нарушает 2-й закон термодинамики.

Двигатели Стирлинга часто называют обратимыми, но для этого требуется особый процесс. Обратите внимание, что теплота, передаваемая в двигатель по пути 4->1, такая же, как и теплота, отводимая от двигателя по пути 2->3, и что 4->1 и 2->3 работают при одних и тех же двух температурах. Следовательно, двигатель Стирлинга с эффективным Карно может быть построен, если теплота передается изотермически внутри двигателя по этим путям. Это достигается с помощью «регенератора», тепловой массы, которая накапливает энергию, выделившуюся в 2->3, и возвращает ее газу по пути 4->1. Вы можете видеть, что температура регенератора должна непрерывно изменяться между T2 и T1 и изотермически обмениваться теплом с газом, когда он проходит через него.

Обратите внимание, что все реверсивные двигатели должны работать с одинаковым КПД. Это следует из определений эффективности и энтропии. Реверсивный двигатель работает с нулевым изменением энтропии.$\Delta S = -\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c}$, так$\Delta S = 0$подразумевает$\frac{Q_h}{T_h} = \frac{Q_c}{T_c}$или эффективность =$\frac{Q_h - Q_c}{Q_h} = \frac{T_h - T_c}{T_h}$

В идеальном цикле Стирлинга изохорные ступени обмениваются теплом при бесконечно малой разнице температур, которая поддерживается регенератором, имеющим непрерывный градиент температуры между горячим и холодным резервуарами. Затем газ может охлаждаться или нагреваться в соответствии с этим градиентом. Это идеальная часть конструкции, которая обеспечивает нулевое изменение энтропии в течение двух изохорных стадий. Это тепло просто перетасовывается внутри и обратно, поэтому единственный фактический обмен с внешним миром происходит через горячий резервуар и выход через холодный. Отсюда и идеальная эффективность. Я не уверен, что правильно называть то, что происходит на ступенях регенератора, изотермическим. Температура меняется непрерывно, но в идеале всегда с бесконечно малой разницей. Есть ли общеупотребительный термин для этого? Тем не менее,

Я заметил в своих поисках в Интернете на тему двигателей Стирлинга, что многие источники путают эти идеи. Я часто видел анализы эффективности, которые полностью игнорируют эффект регенератора. Возможно, это связано с тем фактом, что изохорные процессы обычно не связаны с нулевым изменением энтропии, но в случае двигателя Стирлинга используется особый тип этого процесса с использованием регенератора.

Идеальный двигатель Стирлинга имеет тот же КПД, что и цикл Карно, но его преимущество в том, что он позволяет создавать реальные двигатели, которые, хотя и не могут обеспечить идеальные изотермические и полностью гладкие изохорные стадии регенератора, они приближаются к этому и гораздо более осуществимой, чем возможность построить практический двигатель Карно.

Таким образом, в действительности двигатели Стирлинга, произведенные в реальных условиях, не достигают полного идеального КПД Карно, но многие из них работают намного лучше, чем другие типы тепловых двигателей.

В заключение, учитывая идеальный двигатель Стирлинга:

(1) Достигнут идеальный максимальный КПД двигателя Карно. (2) Ваш расчет не противоречит этому, потому что он неверен. Вы включаете теплообмен на изохорных стадиях как часть затрат, тогда как единственными затратами является подвод тепла извне во время изотермического рабочего хода. (3) Этот цикл обратим, так как энтропия не меняется на изохорных стадиях. (4) Диаграммы самой по себе недостаточно, чтобы показать это, поскольку нам нужно также знать, что идеальный регенератор — это то, что делает возможной третью точку. То есть, если убрать регенератор, схема останется прежней.

Проблема исходит из 9-го уравнения. Обратите внимание, что теплота, передаваемая во время двух процессов 4-1 и 2-3, уравновешивает друг друга. Тепло Q41 отдается регенератору и затем реабсорбируется из него рабочим материалом системы. Это количество тепла «не» отдается системе горячим резервуаром и не поглощается холодным резервуаром, а в некотором смысле «обратимо» передается между двумя частями самого рабочего материала. Таким образом, включая Heat Q41 в 9-м уравнении. часть тепла, которая «передается» от горячего консерванта в систему, является неверным моментом в расчетах выше, что и привело к неверному результату, приведенному в уравнении 11.

Любой цикл на pv-диаграмме обратим. Когда вы решаете для Q, вы должны интегрировать, и сам процесс интегрирования включает dT, что означает, что разница температур бесконечно мала, что делает процесс обратимым. Выведенная вами формула эффективности двигателя Стирлинга верна, за исключением того, что количество молей (n) должно быть уравновешено. КПД двигателя Стирлинга ниже, чем у Карно, и это нормально. Как сказал один из вас, его нельзя сравнивать с циклом Карно, так как теплообмен в цикле Карно происходит при двух фиксированных температурах, а в двигателе Стирлинга теплообмен происходит также по двум процессам постоянного объема, где температуры меняются. В цикле Карно нет теплообмена по адиабатическим кривым, по которым изменяется температура. Надеюсь, это поможет.