Критерий Гинзбурга и сверхпроводимость

Критерий Гинзбурга количественно говорит нам, когда верна теория среднего поля. Если$\phi$— параметр порядка системы, то теория среднего поля требует, чтобы флуктуации параметра порядка были намного меньше фактического значения параметра порядка вблизи критической точки:

$$\langle\left(\delta\phi\right)^{2}\rangle << \langle\phi^{2}\rangle\text{.}$$

Например, в случае модели Изинга. Параметр порядка задается намагниченностью, и мы можем сделать флуктуации Расширение

$$m = m_{0} + \delta m$$

где$m_{0}$является параметром порядка и$\delta m$описывает колебания. Тогда можно показать, что критерий Гинзбурга соответствует

$$\langle\delta m\left(x\right)\delta m\left(x^{\prime}\right)\rangle << m_{0}^{2}$$

где$\langle\delta m\left(x\right)\delta m\left(x^{\prime}\right)\rangle$– корреляционная функция флуктуаций.

Мне интересно, как это работает для теории BCS? Здесь функционал действия BCS читается

$$S_{\text{BCS}} = \sum_{Q}\Delta_{Q}^{\dagger}\left(\frac{g}{\beta V}\right)^{-1}\Delta_{Q} - \text{tr}\ln\left(\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)\right)$$

с$\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{k,q} = \begin{pmatrix} \left(-i\omega + \epsilon_{k}\right)\delta_{k,q} & \Delta_{k-q} \\ \Delta_{q-k}^{\dagger} & \left(-i\omega - \epsilon_{k}\right)\delta_{k,q} \end{pmatrix}$. Тогда с расширением флуктуаций

$$\Delta_{Q} = \sqrt{\beta V}\Delta\delta_{Q,0} + \Phi_{Q}$$

где$\Delta$- Параметр порядка среднего поля и$\Phi_{Q}$поле флуктуаций. Тогда, потому что$\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{k,q}$линейна в$\Delta_{Q}$мы можем написать$\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{k,q} = \left(G_{\text{MF}}^{-1}\right)_{k,q} + \left(\sum_{\text{Fluc}}\right)_{k,q}$.

После небольшой алгебры можно показать, что статистическая сумма разложена на множители.

$$\mathcal{Z}_{\text{BCS}} = \mathcal{Z}_{\text{MF}}\mathcal{Z}_{\text{Fluc}}$$

с$\mathcal{Z}_{\text{MF}}$является статистической суммой для параметра порядка среднего поля и$\mathcal{Z}_{\text{Fluc}}$для колебаний. Статистическая сумма для флуктуаций имеет следующий вид

$$\mathcal{Z}_{\text{Fluc}} = \int D\left[\Phi^{\dagger},\Phi\right]e^{-S_{\text{Fluc}}}$$

с функционалом действия флуктуаций

$$S_{\text{Fluc}} = \frac{1}{2}\sum_{Q}\left(\Phi_{Q}^{\dagger},\Phi_{-Q}\right)\begin{pmatrix} \Gamma_{11} & \Gamma_{12} \\ \Gamma_{21} & \Gamma_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Phi_{Q}\\ \Phi_{-Q}^{\dagger} \end{pmatrix}$$

Здесь у нас есть корреляционная матрица$\Gamma = \begin{pmatrix} \Gamma_{11} & \Gamma_{12} \\ \Gamma_{21} & \Gamma_{22} \end{pmatrix}$.

Мой вопрос в том, как я могу связать матрицу корреляции$\Gamma$к параметру порядка среднего поля$\Delta$, который является скаляром для критерия Гинзбурга?

Изменить: для справки я использовал следующую статью Path-Integral Description of Cooper Pairing . В этой статье есть определение корреляционной матрицы$\Gamma$.