Симметрии

Симметрии тензора кривизны Римана:

$$\begin{align}{R_{\left(ab\right)c}}^d&=0\tag{1}\\ R_{ab\left(cd\right)}&=0\tag{2}\\{R_{abc}}^d+{R_{bca}}^d+{R_{cab}}^d&=0\tag{3}\\ R_{abcd}&=R_{cdab}\tag{4}\end{align}$$

где круглые скобки заключают индексы,$\left(\ldots\right)$, обозначает симметричную часть тензора по этим индексам:$T_{\left(ab\right)}\equiv\frac{1}{2}\left(T_{ab}+T_{ba}\right)$.

Из этих симметрий можно показать, что в$N$размерное пространство-время, существуют$\frac{1}{12}N^2\left(N^2-1\right)$независимые и, вообще говоря, ненулевые компоненты тензора кривизны Римана.

Ограничение

$$\begin{align}R_{ab}&\equiv {R_{cab}}^c\\\therefore R_{ab}=0\implies0&={R_{cab}}^c\tag{5}\end{align}$$

Как переключение$a$и$b$даст идентичное уравнение по симметрии (4), за которой следуют обе симметрии (1) и (2), тогда есть$\frac{1}{2}N\left(N+1\right)$линейно независимые уравнения. Каждое линейно независимое уравнение уменьшает число независимых, как правило, ненулевых компонент на единицу.

Когда$N=1$, ограничение (5) эквивалентно всем четырем симметриям, поэтому количество ненулевых компонент по-прежнему равно нулю. Когда$N=2$, ограничение 5 дает следующие 3 уравнения:

$$\cases{{R_{000}}^0+{R_{100}}^1=0&(6a)\\{R_{001}}^0+{R_{101}}^1=0&(6b)\\{R_{011}}^0+{R_{111}}^1=0&(6c)}$$

Оба слагаемых в (6b) равны нулю в силу симметрии (1) и (2) соответственно. В то время как первый член (6а) равен нулю в силу симметрии (1) или (2), а также второй член (6с) равен нулю. Окончательно,${R_{100}}^1\equiv{R_{011}}^0$по симметрии (4), за которой следуют как (1), так и (2), поэтому эти три уравнения сводятся к одному линейно независимому уравнению, и, таким образом, еще раз, количество независимых обычно ненулевых компонентов равно нулю.

Однако для$N\ge3$, я считаю, что ограничение (5) линейно не зависит от четырех симметрий, и поэтому число независимых, как правило, ненулевых компонентов$C$будет:

$$C=\begin{cases}0,&N\in\left\{1,2\right\}\\\displaystyle\frac{1}{2}\left(N+1\right)\left(\frac{1}{6}N^2\left(N-1\right)-N\right),&N\ge3\\\end{cases}$$

Однако, если я упустил какое-либо применение четырех вышеприведенных симметрий для$N\ge3$(пожалуйста, дайте мне знать в комментариях) будет меньше линейно независимых уравнений и так$C$увеличится, но все равно должно быть ограничено$C\le\frac{1}{12}N^2\left(N^2-1\right)$. Следовательно, более слабая граница$C$является:

$$\frac{1}{2}\left(N+1\right)\left(\frac{1}{6}N^2\left(N-1\right)-N\right)\le C\le\frac{1}{12}N^2\left(N^2-1\right)\quad\text{for }N\ge3$$

Эти границы представлены ниже:

Таким образом, в трехмерном пространстве-времени$C=0$и что интересно, четырехмерное пространство-время (в котором мы живем) имеет первый ненулевой$C=10$.

Изогнутый или плоский

Наконец, пространство-время является плоским только в том случае, если${R_{abc}}^d$исчезает, поэтому пространство-время является плоским в 1D, 2D и 3D, когда$R_{ab}=0$но в целом все еще изогнут в 4D и любых более высоких измерениях. Таким образом, четырехмерное пространство-время может быть искривлено в точке, где тензор энергии-импульса обращается в нуль, но будет ли оно искривленным или плоским, будет определяться граничными условиями. Например, пространство-время вокруг массивного объекта искривлено из-за массы объекта, хотя пространство вокруг объекта пусто.

Наконец, это означает, что в пустой вселенной пространство действительно может быть искривлено! Не вдаваясь в подробности, применим принципы однородности и изотропии, чтобы получить$R_{abcd}=K\left(\gamma_{ac}\gamma_{bd}-\gamma_{ad}\gamma_{bc}\right)$где$g_{ij}=-a^2\left(t\right)\gamma_{ij}$и$i,j\ne0$— пространственные компоненты метрики — это метрика Фридмана—Лемэтра—Робертсона—Уокера . Это дает$R_{00}=3\frac{\ddot a}{a}$и$R_{ij}=-\frac{1}{c^2}\left(\ddot aa+2\dot a^2+2Kc^2\right)\gamma_{ij}$и поэтому с более ранним ограничением это дает$\ddot a=0$и так$K=-\frac{\dot a^2}{c^2}$. Таким образом, в пустой вселенной$R_{abcd}=-\frac{\dot a^2}{c^2}\left(\gamma_{ac}\gamma_{bd}-\gamma_{ad}\gamma_{bc}\right)$где$\dot a$некоторая реальная постоянная и$a,b,c,d\ne0$.