Куда движется импульс?

Это никуда не денется. Стена должна прикладывать какую-то силу где-то еще (например, на землю), которая, в свою очередь, вводит внешнюю силу (например, трение), которая удерживает стену на месте, когда мяч ударяется о нее (относительно Земли мы рассматриваем случай где Земля движется из-за силы внизу внизу).

Однако часто мы аппроксимируем физические системы. Рассмотрим случай, когда предполагается упругое столкновение шара массой$m$и гораздо большая масса$M \ \gg \ m$. У нас есть:

$$mv_i \ = \ mv_f \ + \ Mv_{f2}$$

Что подразумевает, что:

$$v_{f2} \ = \ \frac{m(v_i \ - \ v_f)}{M}$$

У нас также есть:

$$mv_i^2 \ = \ mv_f^2 \ + \ Mv_{f2}^2$$

Тогда мы имеем:

$$m(v_i^2 \ - \ v_f^2) \ = \ \frac{m^2(v_i \ - \ v_f)^2}{M} \ \Rightarrow \ \frac{v_i \ + \ v_f}{v_i \ - \ v_f} \ = \ \frac{m}{M}$$

Если взять предел:

$$\lim_{M \ \rightarrow \infty} \ \frac{m}{M} \ = \ 0$$

Это означает, что по мере увеличения массы$v_i \ + \ v_f \ = \ 0$, означающий, что$v_i \ = \ -v_f$, и мяч отскакивает с той же скоростью, с которой он столкнулся.

Таким образом, мы можем просто предположить, что стена (и, я думаю, Земля, поскольку стена прикреплена к Земле!) не движется (скорость невероятно мала) и что импульс сохраняется, просто изменяя направление шара.

Стена имеет большую массу и прикреплена к Земле с очень большой массой. Это означает, что он может поглощать импульс без какой-либо заметной скорости.

В цифрах масса Земли составляет около$6 \times 10^{24}$кг. Скорость 1 микрон в год составляет около$0.3 \times 10^{-13}$РС; даже эта крошечная скорость может поглотить импульс$10^{11}$.

Итак, куда движется импульс

Сила есть передача импульса. Поэтому, если вы хотите знать, куда движется импульс, просто проследите силы.

Мяч действует с силой в направлении$v$на стене, поэтому импульс мяча уходит в стену. Основание стены действует с силой в направлении$v$на земле, поэтому импульс стены уходит в землю.

Земля настолько массивна, что, хотя она и набирает обороты, изменение ее скорости слишком мало, чтобы его можно было обнаружить.

Подробно разработайте закон сохранения количества движения упругого мяча, ударяющегося о стену, заглубленную в землю.

В систему входят как шар, так и стена-земля. Выберите стену-землю в качестве системы отсчета и предположите, что мяч движется вправо, к стене-земле, поэтому скорость будет иметь положительный знак (по соглашению).

Сумма импульсов всех элементов системы по отношению к системе отсчета постоянна/неизменна до и после удара.

Мяч с массой$m$и скорость$v$имеет импульс$+mv$до удара и импульс$-mv$после воздействия. Таким образом, поскольку система имела полный импульс$+mv$перед ударом стена-земля должна иметь импульс$2mv$после воздействия.

• Примечание. Приведенное выше объяснение и следующее уравнение являются приближением к действительности. Тем не менее, он иллюстрирует принцип сохранения импульса (прежде чем мы усложним задачу и решим ее более точно, учитывая также сохранение энергии).

$$p = mv = -mv + 2mv$$

Хотя земля-стена массивна, она не бесконечно массивна. Таким образом, когда мяч ударяется о стену-землю и отскакивает, земля и стена движутся с конечной, хотя и чрезвычайно малой скоростью.

Поскольку Земля так велика, а ее скорость так мала, количество энергии, теряемой земной стеной, очень мало. Поэтому в большинстве практических/реальных ситуаций мы предполагаем, что кинетическая энергия земляной стены равна нулю, а скорость мяча после удара равна$-v_{ball.initial}$. Но на самом деле величина конечной скорости мяча,$v_{ball.final}$, постепенно меньше, чем$v_{ball.initial}$, его входная скорость.

Мы можем вычислить скорость земной стены и шара после удара, используя уравнения сохранения энергии и импульса. Импульс количественно определяет векторный аспект движущейся массы, а Кинетическая энергия количественно определяет скалярный аспект движущейся массы. Рассмотрение аспектов энергии и импульса системы дает дополнительную уникальную/неизбыточную информацию о системе. Следовательно, имея два уравнения, мы можем решить для двух неизвестных.

1) Используя принцип сохранения энергии, кинетическая энергия мяча до удара равна сумме кинетических энергий мяча и стены-земли после удара. Обратите внимание, что энергия является скаляром, поэтому мы добавляем абсолютное значение энергий для вычисления общего$KE$после воздействия.

$$KE = \frac {1}{2}m_{ball}v^2_{ball.initial}= \frac {1}{2}m_{ball}v^2_{ball.final} + \frac {1}{2}m_{wall-earth}v^2_{wall-earth.final}$$

2) Используя принцип сохранения импульса, мы строим уравнение, соотношение, для количественной оценки того факта, что общий импульс одинаков до и после удара. Обратите внимание, что импульс является вектором, поэтому знак скорости меняется, когда ее скорость меняется на противоположную, и это должно быть включено в уравнение, чтобы представить эту жизненно важную часть информации о взаимосвязях.

$$m_{ball}v_{ball.initial} = m_{ball}v_{ball.final} + m_{wall-earth}v_{wall-earth.final}$$

Резюме: Каждое физическое взаимодействие подчиняется закону сохранения импульса и энергии. И каждое физическое взаимодействие включает в себя аспект преобразования как импульса, так и энергии в процессе столкновения того или иного типа.

Примечание: когда масса одного из двух взаимодействующих тел$10$раз больше, его скорость после удара будет порядка$100$раз меньше (из-за$v^2$связь с кинетической энергией). Таким образом, взаимодействуя с объектами размером с планету, мы обычно упрощаем наши вычисления, игнорируя вклад планеты в энергию и импульс. Тем не менее, чтобы установить твердое концептуальное понимание физики, лежащей в основе всех взаимодействий, мы должны, по крайней мере, неявно признать крошечную поправку к скорости меньшего тела, необходимую для сохранения кинетической энергии и импульса.

Конечно, задачи/физические сборки могут быть произвольно сложными. Энергия может быть подразделена на множество отсеков/типов, таких как: кинетическая, потенциальная, тепловая и работа. Каждое из этих усложнений системы добавляет еще одну степень свободы. Чтобы обеспечить количественную оценку конечного состояния после взаимодействия, необходимо составить дополнительное уравнение для каждой дополнительной степени свободы. Это позволяет нам указать взаимосвязь между состояниями до-после/начальным-конечным и вычислить ожидаемый количественный результат.

Отличные ответы от других плакатов - «потерянный» импульс действительно сохраняется за счет крошечной отдачи стены и Земли.

Вам также могут быть интересны следующие наблюдения.

Грубо говоря, когда объекты взаимодействуют, импульс и энергия передаются между ними таким образом, что их суммарный импульс и их суммарная энергия остаются неизменными.

В простом случае столкновения двух тел одинаковой массы эффект передачи количества движения на их скорости одинаков: одно тело замедлится, а другое ускорится на одинаковую величину. (Кстати, вопрос о том, какое тело приобретает импульс, а какое теряет, зависит от системы отсчета, в которой моделируется столкновение.)

Если два тела имеют разные массы, влияние столкновения на их скорости будет обратно пропорционально их массам — скорость более легкого тела изменится больше, чем скорость более тяжелого. В крайнем случае, например, когда мяч отскакивает от земли, скорость отдачи Земли незначительна.

Кинетическая энергия также передается при столкновениях. Поскольку изменение КЭ пропорционально квадрату изменения скорости, вы увидите, что в случае мяча, отскакивающего от Земли, никакая КЭ не может быть передана от мяча Земле, так как квадрат скорости отдачи Земли равен исчезающе мало.

Из этих идей вы должны увидеть, что при лобовом столкновении двух тел передача количества движения минимальна, когда они имеют одинаковую массу, но передача КЕ максимальна.

Упускаемое из виду отталкивание Земли фигурирует во всех повседневных явлениях, связанных с движущимися массами. Когда вы начинаете идти по улице, вы набираете скорость, и Земля, отскакивая от толчка вашего шага, теряет столько же.