Путаница относительно случая лобового упругого столкновения двух тел одинаковой массы

Одна из вещей, которую вы должны помнить в случае упругих столкновений, заключается в том, что с импульсом также сохраняется энергия. При всех столкновениях с e<1 часть энергии теряется в виде звука, тепла и т. д. Теперь представьте, что два объекта имеют одинаковую массу и скорость и движутся навстречу друг другу. Здесь есть два возможных пути сохранения импульса, поскольку начальный импульс равен нулю.

1. Конечная скорость обоих объектов равна 0, поэтому чистый импульс будет равен 0, как вы упомянули.

2. Скорости меняются местами. Предположим, что объекты движутся вдоль оси x. Первоначально тело B-1 имеет скорость S по положительной оси x, а тело B-2 имеет скорость S по отрицательной оси x. После столкновения скорости меняются местами, а импульс остается нулевым. Пусть масса каждого тела равна M, скорость = S. Однако, поскольку энергия скалярна и должна сохраняться ( упругое столкновение ),

                                   **Initial Energy=Final Energy**.                       
   

   Кроме того, пусть будет ясно, что здесь мы имеем дело только с кинетической энергией. Поскольку начальная энергия = MS^2, конечная энергия также должна быть равна MS^2, что возможно только во втором случае. Итак, скорости меняются местами.

Предпосылки

Закон сохранения импульса утверждает, что:

$$m_{1} \mathbf v_{1i} + m_{2} \mathbf v_{2i}=m_{1} \mathbf v_{1f} + m_{2} \mathbf v_{2f}$$

где$m_1$и$m_2$масса предметов,$\mathbf v_{1i}$и$\mathbf v_{2i}$начальные скорости и$\mathbf v_{1f}$и$\mathbf v_{2f}$являются начальными скоростями. В вашем конкретном случае уравнение импульса сводится к

$$\begin{align} m\mathbf v + m (-\mathbf v) & = m\mathbf v _1 + m\mathbf v _2\\ 0&=m\mathbf v _1 +m \mathbf v _2\\ 0&=\mathbf v _1 + \mathbf v _2 \tag{1} \end{align}$$

где$m$масса предметов,$\mathbf v$- начальная скорость обоих объектов и$\mathbf v_1$и$\mathbf v_2$являются конечными скоростями.

Теперь нас интересуют две переменные ($\mathbf v_1$и$\mathbf v_2$), но есть только одно уравнение. Итак, как видите, закон сохранения импульса нельзя использовать для предсказания конечных скоростей двух сталкивающихся объектов. Вам нужно применить какое-то другое ограничение/уравнение, которое затем поможет вам однозначно определить конечные скорости.

В этом случае, поскольку вы говорите об упругих столкновениях, мы можем применить два эквивалентных ограничения, одно из которых — сохранение энергии, другое —$e=1$(где$e$– коэффициент реституции ).

Энергосбережение

Обратите внимание, что из$(1)$,$|\mathbf v_1| = |\mathbf v_2 |$. С этого момента я буду обозначать величины скоростей как$v_1$,$v_2$и$v$. Таким образом, применяя закон сохранения энергии, мы получаем

$$\begin{align} \frac 1 2 m v^2+ \frac 1 2 m v^2 &= \frac 1 2 m v_1 ^2 + \frac 1 2 m v_2 ^2\\ v^2 &= v_1^2 =v_2^2\\ |\mathbf v|&=|\mathbf v_1| = |\mathbf v_2 | \end{align}$$

Из этого тривиально следует, что начальные скорости изменили свое направление и, таким образом, поменялись местами.

Коэффициент восстановления

Коэффициент восстановления определяется как отношение относительной скорости отрыва к относительной скорости сближения. Таким образом

$$\begin{align} e&=\frac{|\mathbf v_1 -\mathbf v_2|}{|\mathbf v -(-\mathbf v)|}\\ 1&=\frac{|\mathbf v_1 -\mathbf v_2|}{2|\mathbf v|}\\ 2|\mathbf v|&=|\mathbf v_1 -\mathbf v_2| \end{align}$$

Поскольку это одномерное столкновение, мы можем преобразовать величину разности скоростей в разность величин скоростей (с правильным соглашением о знаках):

$$2v=v_1-v_2$$

Решение этого и уравнения$(1)$дает нам конечные скорости. Вы снова заметите, что начальные скорости поменялись местами.

Ошибка в вашем рассуждении

Случай, о котором вы думаете, происходит, когда столкновение совершенно неупругое, что означает, что коэффициент восстановления равен нулю.

Упругое столкновение означает столкновение без потери кинетической энергии. В этом столкновении Коллисона e=1 означает относительную скорость сближения=. относительная скорость разделения
Если вы знаете это сейчас, вы легко поймете

Если взять формулы сохранения импульса для мальчиков, то почему?? Как мы знаем, оба Коллисона следуют этому правилу. Пусть оба имеют массу m)

(mu1+mu2=mv1+mv2) Если взять уравнение (u1-u2=v2-v1 ) V1= (m +m)/mm)u1+ 2mu2/m+m Теперь mm= o, поэтому эта переменная стремится к нулю (V1 = и2)