Квантизация уровня 2+1D Черна-Саймонса

Комментарии к первому подвопросу OP (v3):

• Действие Черна-Саймонса (CS)$S[A]$всегда инвариантен относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований. Если мы потребуем, чтобы фактор CS Больцмана был инвариантным относительно больших калибровочных преобразований $g:M\to G$, то уровень$k$должно быть проквантовано. См. также, например, GV Dunne, Aspects of Chern-Simons Theory, arXiv:hep-th/9902115 , eq. (58).

• Необходимо обеспечить интегрируемость плотности лагранжиана CS, чтобы действие$S[A]$определена и конечна. Это, в свою очередь, накладывает ограничения на допустимые калибровочные потенциалы.$A$и разрешенные калибровочные преобразования$g$, в частности, если 2+1D пространство-время$M$является некомпактным многообразием. Обычно это навязывают$A$и$g$должны достаточно быстро обращаться в нуль на «бесконечности», т. е. по существу одноточечно компактифицировать многообразие.

Действие Черна-Саймона классически не является калибровочно-инвариантным. Под$A_\mu \rightarrow A^g_\mu=g A_\mu g^{-1} - \partial_\mu g g^{-1}$, лагранжиан преобразуется как

$\mathcal{L}_{CS} \rightarrow \mathcal{L}_{CS} + \frac{k}{4\pi} \epsilon^{\mu\nu\alpha} \partial_\mu\ Tr(\partial_\nu g g ^{-1} A_\alpha) + \frac{k}{12\pi} \epsilon^{\mu\nu\alpha}\ Tr(g^{-1}\partial_\mu g g^{-1}\partial_\nu g g^{-1}\partial_\alpha g)$.

Второй член представляет собой полную производную, которая обращается в нуль. Однако последний член не исчезает. С точностью до константы интеграл от этого члена называется числом обмотки$\omega(g)$, заданный

$\omega(g)=\frac{1}{24\pi^2}\int d^3x\ \epsilon^{\mu\nu\alpha}\ Tr(g^{-1}\partial_\mu g g^{-1}\partial_\nu g g^{-1}\partial_\alpha g)$.

$\omega(g)$— целое число, называемое номером обмотки. Теперь мы можем написать

$S_{CS}(A) \rightarrow S_{CS}(A^g) = S_{CS}(A) + 2\pi k \omega(g)$.

Действие Черна-Саймонса классически не является калибровочно-инвариантным, но его можно сделать калибровочно-инвариантным на квантовом уровне путем ограничения$k$быть целым числом. В этом случае вес интеграла по путям$e^{iS_{CS}}$не меняется, поэтому теория становится калибровочно-инвариантной. Целое число$k$обычно называют «номером уровня» теории Черна-Саймонса.