Квантование гамильтониана

Question

Квантование гамильтониана

СтарБак

Мой вопрос заключается в следующем:

Я изучаю цепочку одномерных гармонических осцилляторов.

Мой классический гамильтониан содержит такие термины, как $U_n$ где $U_n=x_n-x_n^0$ , он представляет положение вдали от равновесия моего $n$ й атом. Я звоню $a$ шаг моей решетки (так что у нас есть $x_n^0=n.a$ )

Используя дискретное преобразование Фурье, мы можем записать это как: $U_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}$ ( $N$ число атомов в моей решетке).

Я знаю, как квантовать $U_n$ (Использую принцип соответствия, знаю, что перейду от $U_n$ к $\widehat{U_n}$ который является оператором, действующим в гильбертовом пространстве таким, что он диагональен в позиционном базисе и имеет $x_n-x_n^0$ собственное значение для кет $|x_n>$ . Действительно $U_n$ просто представляет положение, «сдвинутое» от начала координат, поэтому мы знаем, как его квантовать.

Но как проквантовать правую часть равенства? Я имею в виду, у меня был бы оператор:

\hat{\frac{1}{\sqrt{Н}} \sum_{к} U_{к} е^{- я (к . н . а)}}

$\widehat{\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}}$ (шапка должна закрывать все мое выражение лица).

Как узнать, если $\frac{1}{\sqrt{N}}$ например стал бы оператором? Действительно $N$ это количество атомов в моей решетке, поэтому мне нужно его квантовать?

Я думаю, что ответ здесь: мне просто нужно квантизировать $U_k$ но я хотел бы хорошо понять, как я могу знать, что я должен квантовать.

[править]: решим ли мы квантовать физическую величину, если хотим быть более точными в расчетах? Например $N$ здесь можно проквантовать, если я хочу сказать, что число частиц в моей цепочке имеет определенную вероятность быть равным определенному значению? Таким образом, решить, квантовать его или нет, это просто вопрос «точности» модели?

Ответы (2)

Квантование гамильтониана

Костя · Answer 1

Описание вашей физической системы обязательно включает некоторые переменные, которые «кодируют» конфигурацию вашей системы — определяют пространство конфигурации . Их обычно называют « обобщенными координатами ». В вашем случае вы можете выбрать $q_n=x_n$ или $q_n=U_n$ или даже $q_n={\cal F}[U_n]$ как набор обобщенных координат, так как любая из них однозначно определяет конфигурацию вашей системы.

Используя обобщенные координаты, вы затем определяете динамику своей системы, указав ее лагранжиан ${\cal L}(q_n, \dot{q}_n, t)$ . Из него вы можете получить обобщенные импульсы и вывести его гамильтониан:

п_{н} "=" \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{н}}

$p_n = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{q}_n}$

ЧАС (п_{н}, д_{н}, т) "=" (\sum_{н} {\dot{д}}_{н} п_{н}) - л (д_{н}, {\dot{д}}_{н}, т)

${\cal H}(p_n, q_n,t) = \left(\sum_n \dot{q}_n p_n \right) - {\cal L}(q_n, \dot{q}_n, t)$

Квантование (на самом деле оно называется « каноническим квантованием ») — это процедура взятия обобщенных координат $q_n$ и обобщенные импульсы $p_n$ и говорят, что они теперь операторы. С коммутационными соотношениями:

[{\hat{д}}_{я}, {\hat{п}}_{Дж}] "=" я ℏ {дельта}_{я, Дж}

$[\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{i,j}$

Теперь давайте пройдемся по вашим вопросам:

Должен $N$ быть оператором?

Нет, так как, $N$ не является частью вашего пространства конфигурации.

Решаем ли мы квантовать физическую величину, если хотим быть более точными в расчетах?

Н-нет... Во-первых, мы не квантуем количества. Квантуем описание системы. И мы делаем это, когда значения $q_n$ и $p_n$ достаточно малы для $[\hat{q}_n, \hat{p}_n] = i\hbar$ быть чем-то, чем мы не можем пренебречь.

Например, «N» здесь можно квантовать, если я хочу сказать, что количество частиц в моей цепи с определенной вероятностью будет равно определенному значению?

Не совсем. Вы можете рассмотреть $N$ быть случайной величиной. Вы можете сделать усреднение по нему или что-то еще. Это будет похоже на статистическую механику . Там нет ничего обязательно квантового.

Таким образом, решить, квантовать его или нет, это просто вопрос «точности» модели?

В некотором смысле. Классическое описание мира является приближением, когда мы рассматриваем $\hbar$ быть слишком маленьким для нас, чтобы иметь какой-либо видимый эффект. Когда это приближение неверно, мы должны использовать «точное» описание реальности, где $q_n$ и $p_n$ являются некоммутирующими операторами.

Я не совсем понимаю следующее. У меня есть : $U_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}$ Как я могу знать $U_k$ станет оператором здесь? Потому что, если я буду следовать тому, что вы сказали, мне придется изменить свои обобщенные координаты на операторы. Но здесь у меня есть преобразование Фурье, так как я могу связать его с обобщенными координатами? Я должен использовать тот факт, что $U_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n} U_n e^{+i(k.n.a)}$ , так что это зависит от $x_n$ : это должно быть преобразовано в оператор ?
Обобщенными координатами может служить любой набор значений, однозначно определяющих конфигурацию вашей системы. Значения преобразования Фурье $U_n$ однозначно определяют конфигурацию вашей системы. Таким образом, преобразование Фурье $U_n$ могут служить обобщенными координатами.

Грег Петерсен · Answer 2

Я согласен с ответом Кости, но предложил бы альтернативный способ получения вашего квантования. В этих типах систем квантование может быть получено из граничных условий, наложенных на систему. В этом случае вы бы взяли конечную петлю из N атомов. Это дает граничное условие

$U_n = U_{n + N}$

или

$\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_k U_k e^{-kna} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_k U_k e^{-i(kna + kNa)}$

что верно только тогда, когда $kNa = 2m\pi$

подразумевая, что

$k = \frac{2m\pi}{Na}$

где $m$ является целым числом. Это, в свою очередь, является квантованием системы. Если вы работаете с бесконечной системой, вы берете $N \to \infty$ и приходим к непрерывному k.

Вы можете применить этот аргумент и к другим граничным условиям, и он изменит тип дискретизации для конечных систем. Однако предел континуума остается прежним.

Спасибо за ваш ответ. На самом деле меня очень интересует то, что вы сказали: «Квантование может быть получено из граничных условий, наложенных на систему». Я никогда не понимал связь между применением граничных условий (и тогда у нас есть набор возможных k, как вы написали) и «квантовым квантованием», где мы заменяем переменные конфигурации «q» и «p» их соответствующими операторами. . Я имею в виду, что мы называем обе вещи квантованием, но для меня эти две вещи очень разные. Есть ли связь между применением BC к волновым векторам и изменением (q, p) на наблюдаемые?
Да, граничные условия ограничивают возможные решения вашего уравнения, но также могут быть введены, как указал Костя, в вашем конфигурационном пространстве. Вы можете либо начать с непрерывной переменной, а закончить квантованной обратной переменной, как в случае с квантовой ямой, где жесткие границы квантуют энергию, либо вы можете начать с дискретной системы, как указано выше, и прийти либо к непрерывной или дискретная обратная переменная в зависимости от граничных условий.

Квантование гамильтониана

СтарБак

Ответы (2)

Костя

СтарБак

Костя

Грег Петерсен

СтарБак

Грег Петерсен

Интеграл по скалярному произведению собственной функции оператора импульса и гармонического осциллятора один

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Гамильтониан квантового гармонического осциллятора с ψ(x)=δ(x)ψ(x)=δ(x)\psi(x)=\delta(x): сравнение с классической механикой

Создание состояния КМ определенного положения в фоковском пространстве

Почему операторы лестницы не ездят на работу?

Доказательство того, что одномерный простой гармонический осциллятор невырожден?

Позиционирование оператора в импульсном пространстве

Образуют ли лестничные операторы aaa и a†a†a^\dagger полный базис алгебры?

Эволюция состояния во времени квантового гармонического осциллятора с функцией Дирака-Дельта в качестве начального состояния [закрыто]

Что означает «вакуумное состояние»?