Интеграл по скалярному произведению собственной функции оператора импульса и гармонического осциллятора один

Недавно я встретил следующее выражение:

(2) ∑ н ф ( н ) ∫ г п   | ⟨ п | н ⟩ | 2 "=" 2 π ∑ н ф ( н ) .
Здесь | н > есть собственная функция гармонического осциллятора с энергией
Е н "=" ю ( н + 1 2 ) ,
| п > - собственная функция оператора импульса (без нормировочной константы),
| п >= е я п Икс ,
⟨ п | п ′ ⟩ "=" 2 π дельта ( п − п ′ ) .

Как доказать ( 2 ) ?

( 2 π ) − 1 / 2 ⟨ п , ⋅ ⟩ является преобразованием Фурье на л 2 . | н ⟩ имеет норму один на л 2 , а преобразование Фурье унитарно (т.е. сохраняет л 2 норма).
|<p|n>|^2 = <n|p><p|n> и интеграл по p от |p><p| = 2 pi из-за того, как вы нормализовали эти состояния, поэтому у вас осталась квадратная норма |n>, равная 1.

Ответы (1)

∑ н ф ( н ) ∫ г п | ⟨ п | н ⟩ | 2 "=" ∑ н ф ( н ) ∫ г п ∫ г д ⟨ н | п ⟩ ⟨ п | н ⟩ "=" 2 π ∑ н ф ( н ) ⟨ н | н ⟩ "=" 2 π ⋅ ∑ н ф ( н ) ,
где я использовал тот факт, что
∫ г п | п ⟩ ⟨ п | "=" 2 π ,
что следует из
⟨ п | д ⟩ "=" 2 π дельта ( п − д ) .

Интеграл по скалярному произведению собственной функции оператора импульса и гармонического осциллятора один
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v