Квантование одномодового поля в резонаторе

1. Для квантового гармонического осциллятора можно показать, что гамильтониан может быть выражен через лестничные операторы как$H=\hbar \omega (\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2})$где$[\hat{a}^\dagger, \hat{a}]=1$. Вычитание постоянного члена из гамильтониана, который не меняет динамику системы, дает$H=\hbar \omega \hat{a}^\dagger \hat{a}$.
2. Фотоны — это бозоны. Следовательно, они подчиняются бозонным коммутационным соотношениям.
3. Однорезонаторная мода считается дискретной .
4. Мы можем определить оператор$\hat{b}^\dagger$что переводит фотон в моду. Следовательно, из-за 2 и 3 коммутационные соотношения должны быть$[\hat{b}^\dagger, \hat{b}]=1$. Это согласуется с гармоническим осциллятором.
5. Будем считать, что мода находится при энергии$\hbar \omega'$. Тогда энергия в моде будет равна количеству фотонов в моде, умноженному на$\hbar \omega'$. Поэтому$H=\hbar \omega' \hat{b}^\dagger \hat{b}$. Это согласуется с гармоническим осциллятором вплоть до идентификации частот.
6. Таким образом, мы показали, что гамильтониан системы и коммутационные соотношения операторов рождения частиц совпадают. Поэтому системы будут показывать одинаковую динамику, т.е. эквивалентны.

Что здесь означает формальная точная эквивалентность?

Что системы ведут себя одинаково динамически, если сделаны правильные идентификации. В данном случае это означает:

• Режим резонатора = гармонический осциллятор
• Оператор создания фотона полости = оператор создания гармонического осциллятора
• $\omega'=\omega$

Обратите внимание, что основная причина, почему это работает, заключается в том, что фотоны являются бозонами (следовательно, вы можете поместить бесконечно много в одну моду с одной и той же энергией), а энергетические уровни гармонического осциллятора имеют постоянное расстояние (а их бесконечно много).

Формальная эквивалентность одномодового поля и гармонического осциллятора единичной массы устанавливается только тем, что показано, что вид гамильтониана одинаков в обоих случаях. Является ли это необходимым и достаточным условием формальной эквивалентности?

Это ни то, ни другое . В этом нет необходимости, поскольку вы можете легко переопределить некоторые операторы (например, проецировать на другую основу). Этого недостаточно, поскольку вам также необходимо, чтобы операторы имели одинаковые коммутационные соотношения.

Но у них одинаковые коммутационные соотношения, так что аналогия в порядке.

Каким образом соответствие в гамильтонианах влечет за собой соответствие по всем свойствам операторов (их коммутационным соотношениям, их эрмитовости [...]

Это не.

[...] их физической наблюдаемости)?

Что ж, теперь это действительно может быть совсем другим и также будет зависеть от того, как вы реализуете свой гармонический осциллятор в физической системе. Хм, почему бы не взять несколько фотонов в резонатор и не посмотреть, какие крутые штуки они могут делать . :)