Крах и возрождение в модели Джейнса Каммингса

Это действительно довольно сложно. Это приведет вас к оригинальной статье Каммингса в Phys. Преподобный Летт. 140 в 1965 г., стр. A1051: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.140.A1051 . Прежде всего вы должны заметить, что если$P_e(t)$дается как вы написали то коэффициенты$\frac{e^{-\alpha^2}|\alpha|^{2n}}{{n!}}$умножение$\cos()^2$термины локализованы (всплеск значений) вокруг$n = n_{av} = |\alpha|^2$. Вы можете получить его из формулы Стирлинга для больших$n$($n>10$) путем аппроксимации

$n! \approx \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

и чем пытаться найти максимум функции

$\frac{e^{-n_{av}}|n_{av}|^{n}}{{n!}} \approx 1 /\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{e}{n}\right)^n e^{-n_{av}}|n_{av}|^{n}$

в отношении$n$поскольку это была непрерывная переменная.

Вычислив и приравняв производную к нулю, вы получите

$e^{-n_{av}} /(2 \sqrt{2 \pi})e^n n_{av}^n n^{-3/2-n}(1 + 2 n_{av} \log n - 2 n \log n) = 0$

и приближенное решение, пренебрегая малым$1$в скобках есть

$n=n_{av}$.

Чем вы можете Тейлор-расширить$g(n+1)^{1/2}$до первого порядка вокруг$n_{av}$то есть$g(n+1)^{1/2} \approx g (n_{av}+1)^{1/2} + g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av})$заботиться только о членах, вносящих наибольший вклад в сумму. Энергии становятся линейными в$n$теперь как для гармонического осциллятора. Вы получаете как время возрождения, так и короткое время затухания, используя это приближение после некоторой страницы дополнительной математики (которой нет в статье, поскольку это было в Письме). Возрождения намного проще, так как теперь все косинусы колеблются с кратностью одной и той же частоты$g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}]$и поэтому они видны непосредственно в рефазе. Таким образом, время возрождения$2 \pi (n_{av}+1)^{1/2}/g$в то время как вы получаете время распада$1/g$используя небольшое временное расширение суммирующих членов за короткие промежутки времени, чтобы суммировать их до реального падающего показателя степени. Парадоксальным образом возрождения не были замечены или проигнорированы Каммингсом в его оригинальной статье, выводящей$1/g$скорости коллапса, даже если они есть в полученной им приблизительной формуле, и они были обнаружены позже Эберли в Phys. Преп. письмо. 44, 1980, стр. 1323: http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.44.1323 . Он выводит сложную компактную формулу для произвольного случая ненулевой расстройки, то есть долгопериодического поведения полного возрождения через время$2 \pi (n_{av})^{1/2}/g \approx 2 \pi (n_{av}+1)^{1/2}/g$что несколько напоминает колебательное движение слабо расплывающегося волнового пакета свободной частицы, если вычислить перекрытие его самого с собой от времени$0$(автокорреляционная функция) и с периодом возрождения, а быстрые колебания имеют некоторую фазу.

Чтобы получить время затухания: Теперь у нас есть:

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $\cos^2{[g (n_{av}+1)^{1/2} + g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av})]}$

или

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $[\cos{[2 g (n_{av}+1)^{1/2} t + g/[ (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av}) t]}/2+1/2]$

Теперь мы используем формулу для$\cos (a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b$дважды и отбросить все термины, которые имеют$\sin (...t) \approx 0$в нем, так как они маленькие и условия с$\cos (...t)$кроме самых колебательных с$2g$не бегает$n$мы положили$1$по той же причине. Результат:

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $[\cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] \cos{[g/[ (n_{av}+1)^{1/2}]n t]}/2+1/2]$

Теперь, используя формулу для$\cos(x)= (e^{ix}+e^{-ix})/2$

ряд можно легко суммировать из разложения экспоненты ряда

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

(обратите внимание на члены, содержащие показатель степени):

$P_e(t) \approx (1/4)\cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] e^{-n_{av}} [e^{n_{av}e^{i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}]t}}$ $+e^{n_{av}e^{-i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t]}}]$+1/2$

Еще один шаг — снова расшириться для небольших$t$(нас интересуют только действительные части, в то время как мнимые имеют малые$\sin (...t)$снова):

$e^{-i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t} \approx 1 - t^2 g^2 /2/ (n_{av}+1)$

и так

$e^{i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t} \approx 1 - t^2 g^2 /2/ (n_{av}+1)$

приближающийся

$n_{av}+1 \approx n_{av}$мы получаем$P_e(t) \approx (1/2) \cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] e^{-g^2 t^2/2}+ 1/2$поэтому время затухания$1/g$