Почему мы используем эрмитовы операторы в QM?

Одна проблема с данным$3\times 3$пример матрицы состоит в том, что собственные пространства не ортогональны.

Таким образом, не имеет смысла говорить, что кто-то со 100% уверенностью измерил, что система находится в одном собственном пространстве, но не в других, потому что может быть ненулевое перекрытие с другим собственным пространством.

Можно доказать$^{1}$что оператор является эрмитовым тогда и только тогда, когда он диагонализируется в ортонормированном базисе с действительными собственными значениями. См. также этот пост Phys.SE.

$^{1}$В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.

Если вы хотите увидеть что-то другое, на самом деле есть несколько статей Карла Бендера, развивающих квантовую механику, сформулированную с помощью симметричных операторов времени четности. Он показывает, что некоторые гамильтонианы не являются эрмитовыми, но при этом имеют действительные собственные значения и представляют действительные физические системы. Если подумать, то требование, чтобы ваш оператор был симметричным по времени четности, физически имеет больше смысла, чем эрмитичность. В более поздней статье было доказано, что его подход к квантовой механике эквивалентен стандартному подходу, в котором операторы являются эрмитовыми.

Если вам интересно, вы можете прочитать http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501052

Чтобы дать ответ, который является немного более общим, чем то, что вы спрашиваете, я могу назвать три причины наличия эрмитовых операторов в квантовой теории:

1. Квантовая теория опирается на унитарные преобразования для симметрий, изменений базиса или временной эволюции. Унитарные преобразования генерируются эрмитовыми операторами, как в$U=\exp(\mathrm iHt)$. И унитарные представления группы Ли идут с алгеброй Ли эрмитовых операторов.

2. Результаты измерений берутся из набора ортогональных состояний с реальными значениями измерений. Эта структура эффективно представлена ​​эрмитовым оператором, который имеет собственную структуру, точно соответствующую этим требованиям.

3. Представления состояний подсистем и ансамблей приводят к эрмитовым операторам. Для ансамблей это видно из построения как выпуклая сумма проекторов, которые обязательно эрмитовы. Для состояний подсистемы это получается при отслеживании проектора по тензорным пространствам факторов. Это связано с пунктом 2), потому что такие процессы, как декогеренция, связывают результаты измерений с операторами плотности.

Суть собственных состояний и всей линейной алгебры квантовой механики в том, что проекции$\langle\phi|\psi\rangle$государства$|\psi\rangle$на каждое собственное состояние$|\phi\rangle$представляют амплитуды вероятности каждого собственного состояния. В частности, это означает:

Где суммирование проводится по всем собственным состояниям оператора. Поскольку это должно быть верно для всех состояний$|\psi\rangle$, вещь слева должна быть суммой Пифагора, поэтому$|\phi\rangle$s должны образовывать ортогональный базис. В качестве альтернативы можно просто отметить, что мы должны иметь$\langle \phi_1|\phi_2\rangle=0$если соответствующие собственные значения различны, поскольку два различных наблюдения должны быть взаимоисключающими.

Это показывает, что матрицы должны быть нормальными. То, что они выбраны эрмитовыми, несущественно, но полезно, как уже обсуждалось.