Квантовая механика: покажите, что математическое ожидание углового момента не меняется со временем.

TDSE это:

$$\hat{H}\Psi = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$$

Взяв комплексное сопряжение (обратите внимание, что$H=H^{*}$поскольку гамильтониан эрмитов):

$$-i \hbar \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} = (\hat{H}\Psi)^{*} = \Psi^{*}H^{*} = \Psi^{*}H$$

По определению:

$$\langle\hat{L}\rangle=\langle\Psi|\hat{L}|\Psi\rangle = \int_{\mathbf{R^3}}\Psi^{*}\hat{L}\Psi \,\mathbf{dr}^3$$

Следовательно, поскольку$\hat{L}$не зависит от времени:

$$\frac{\partial}{\partial t} \langle\hat{L}\rangle= \int_{\mathbf{R^3}}\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}\hat{L}\Psi \,\mathbf{dr}^3 + \int_{\mathbf{R^3}}\Psi^{*}\hat{L}\frac{\partial \Psi}{\partial t} \,\mathbf{dr}^3$$

Подставь первые два уравнения и умножь на$i \hbar$:

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle\hat{L}\rangle= -\int_{\mathbf{R^3}}\Psi^{*}\hat{H}\hat{L}\Psi \,\mathbf{dr}^3 + \int_{\mathbf{R^3}}\Psi^{*}\hat{L}\hat{H}\Psi \,\mathbf{dr}^3 = \int_{\mathbf{R^3}}\Psi^{*}(\hat{L}\hat{H}-\hat{H}\hat{L})\Psi^{*}$$

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle\hat{L}\rangle = \int_{\mathbf{R^3}}\Psi^{*}[\hat{H},\hat{L}]\Psi^{*} = 0$$ Поэтому, $\frac{\partial}{\partial t}\langle\hat{L}\rangle=0$, Который означает, что $\langle\hat{L}\rangle$константа, как мы и хотели показать.

Одно элегантное доказательство этого, которое ясно показывает, почему коммутация с гамильтонианом говорит вам что-то о зависимости от времени, легче всего увидеть, вспомнив уравнение движения Гейзенберга.

$$\dot A = \frac{i}{\hbar}[H, A(t)]+ \partial_t A, \qquad A(t) = e^{i H t/\hbar}Ae^{-iHt/\hbar}$$ вывод которого из уравнения Шредингера приведен в ссылке Wiki. Для любого оператора $A$с $\partial_t A = 0$, второй член справа обращается в нуль. Более того, если оператор коммутирует с гамильтонианом, то первый момент справа также равен нулю. Поэтому для любого состояния $|\psi(t)\rangle = e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle$надо $$\frac{d}{dt}\langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle=\frac{d}{dt}\langle \psi(0)|e^{iHt/\hbar}Ae^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle = \langle\psi(0)|\dot A|\psi(0)\rangle = 0$$ В этом случае, $L$, оператор углового момента, обладает обоими свойствами, которые приводят к тому, что правая часть уравнения движения Гейзенберга обращается в нуль, так что мы закончили!

Между прочим, я использовал некоторые распространенные в физике злоупотребления обозначениями при переключении между представлениями Гейзенберга и Шредингера; дайте мне знать, если это сбивает с толку в результате, и я могу сделать вещи более точными.