Химический потенциал в квантовых теориях поля

В принципе химический потенциал в теориях поля ничем не отличается от обычного химического потенциала. Однако из-за локального характера теорий поля химические потенциалы в теориях поля обладают дополнительными свойствами:

1) В теории поля заряды выступают как объемные интегралы плотностей:

$$Q = \int d^3x \rho(x) = \int d^3x J_0(x)$$ (Второе выражение в правой части выражает тот факт (по теореме Нётер), что плотность заряда, коммутирующая с гамильтонианом, является нулевой компонентой сохраняющегося тока $J^{\mu}$).

Химические потенциалы также могут отображаться в виде плотностей, таким образом, для типичного члена химического потенциала:

$$\mu Q \rightarrow \int d^3x \mu(x) \rho(x) = \int d^3x \mu(x) J^0(x)$$ 2) В теории поля токи минимально связаны с калибровочными полями (т. е. через члены типа $J^{\mu} A_{\mu}$. Таким образом, член химического потенциала описывает связь с нулевой составляющей тока. Таким образом, это должна быть нулевая компонента внешнего калибровочного поля. Подводя итог этому пункту:

Химические потенциалы в теории поля - это нулевые компоненты внешних калибровочных полей :

$$\mu = A_0$$ 3) Как и в обычной термодинамике, в теории поля химические потенциалы могут быть связаны только с сохраняющимися зарядами: $[Q, H] = 0$. Например, существует химический потенциал барионного числа, химический потенциал странности и т. д.

Теории поля содержат также аномальные симметрии, соответствующие токи которых не сохраняются. Однако эти токи имеют законы несохранения типа:

$$\partial_{\mu} J^{\mu} = \partial_{\mu} K^{\mu}(A)$$ Например, в случае осевой аномалии $$K^\mu (x) = -\frac{1}{16\pi^2} \ \varepsilon^{\mu\alpha\beta\gamma}\ t r \ [\frac{1}{2}\ A_\alpha (x)\ \frac{\partial}{\partial x^\beta} \ A_\gamma (x) + \frac{1}{3}\ A_\alpha (x) \, A_\beta (x)\, A_\gamma (x)]$$ Топологический ток $K^{\mu}$не определяется глобально, однако локально у нас есть сохраняющийся ток: $$\partial_{\mu} (J^{\mu} - K^{\mu}) = 0$$ Оказывается, когда аномальный ток соединяется с химическим потенциалом, происходит одно из самых захватывающих недавних открытий, а именно «хиральный магнитный эффект», который состоит из макроскопического проявления хиральной аномалии.

Этот эффект можно резюмировать следующим образом: в присутствии дисбаланса хирального заряда (таким образом, неисчезающий химический потенциал$\mu_5$в сочетании с аксиальным током) в направлении внешнего магнитного поля формируется электрический ток, пропорциональный химическому потенциалу аксиального тока.

$$\vec{J} = \frac{e^2}{2 \pi} \mu_5 \vec{B}$$

Все приведенные выше пояснения (и многое другое) появляются в следующей лекции Харзеева и ссылках в ней.