Квантовый ферромагнетик

Question

Квантовый ферромагнетик

DeanTheMachine

Я наткнулся на следующее упражнение.

Квантовый ферромагнетик Гейзенберга, который задается гамильтонианом:

\hat{ЧАС} "=" - Дж \sum_{⟨ м н ⟩} {\hat{\vec{С}}}_{м} \cdot {\hat{\vec{С}}}_{н},

$\hat{H} = - J\sum_{\langle m n \rangle} \hat{\vec{S}}_m \cdot \hat{\vec{S}}_n,$

где $J>0, \hat{\vec{S}}_m$ представляет квантово-механический оператор спина в узле решетки m, $\langle mn \rangle$ обозначает суммирование по соседним узлам и $\vec{S}_m ^2 = S(S+1)$ . Теперь введем следующее преобразование:

{\hat{С}}_{м}^{-} "=" а_{м}^{†} (2 С - а_{м}^{†} а_{м})^{1 / 2}, {\hat{С}}_{м}^{+} "=" (2 С - а_{м}^{†} а_{м})^{1 / 2} а_{м}, {\hat{С}}_{м}^{г} "=" С - а_{м}^{†} а_{м} .

$\hat{S}_m^- = a^{\dagger}_m (2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2}, \ \ \ \hat{S}_m^+ = (2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2} a_m, \ \ \ \hat{S}_m^z = S- a_m^{\dagger}a_m.$

Теперь рассмотрим одномерную задачу и приравняем постоянную решетки к единице. При низких температурах для $S<<1/2$ мы ожидаем, что отклонения намагниченности от ее значения будут очень малы, т.е. $S - \langle S_m^z \rangle = \langle a_m^{\dagger}a_m \rangle <<S$ . В этом случае мы можем расширить $(2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2}$ в полномочиях $a^{\dagger}_m a_m$ .

Покажите, что для первого порядка в $a_m^{\dagger}a_m /S$ гамильтониан Гейзенберга принимает вид

\hat{ЧАС} "=" - Дж Н С^{2} + Дж С \sum_{м} (а_{м + 1}^{†} - а_{м}^{†}) (а_{м + 1} - а_{м}) + термины более высокого порядка.

$\hat{H} = - J N S^2 + J S \sum_m \left( a_{m+1}^{\dagger} - a_{m}^{\dagger} \right) \left( a_{m+1} - a_{m} \right) + \text{higher order terms.}$

Покажем также, что если преобразовать операторы Фурье, то гамильтониан примет вид

\hat{ЧАС} "=" - Дж Н С^{2} + \sum_{к} ℏ ю_{к} α_{к}^{†} α_{к} + термины более высокого порядка

$\hat{H}= - J N S^2 + \sum_k \hbar \omega_k \alpha_k^{\dagger} \alpha_k + \text{higher order terms}$

с $\hbar \omega_k = 4 J S \sin^2(k/2)$ .

Теперь я не понимаю для первого гамильтониана, что мне нужно делать. Мое первое предположение состоит в том, чтобы сделать аппроксимацию среднего поля, поскольку у нас есть ожидаемое значение. Но этот подход не дает мне желаемых перекрестных терминов. Кроме того, мне трудно понять, что делать с скалярным произведением между $S_m$ и $S_n$ . Нужно ли нам выписывать внутренний продукт, инвертировать наши операторы, чтобы получить $\hat{S}_x$ и $\hat{S}_y$ ? Поскольку это кажется действительно слишком сложным.

Тогда для преобразования Фурье я получаю $2 \sin^2(k/a)$ и мне интересно, то ли упражнение неправильное, то ли я сделал небольшую ошибку.

Ответы (2)

Квантовый ферромагнетик

пользователь1792605 · Answer 1

$\newcommand{\Sz}[1]{\hat {S^{z}_\text{$#1$}} }$ $\newcommand{\Sx}[1]{\hat {S^{x}_\text{$#1$}} }$ $\newcommand{\Sy}[1]{\hat {S^{y}_\text{$#1$}} }$ $\newcommand{\Splus}[1]{\hat {S}^{+}_\text{$#1$} }$ $\newcommand{\Smin}[1]{\hat {S}^{-}_\text{$#1$} }$ $\newcommand{\ad}[1]{ a^{\dagger}_\text{$#1$} }$ $\newcommand{\a}[1]{ a_\text{$#1$} }$

Хорошо, я закончил вашу проблему.

Сначала напишите квантово-механический оператор спина в терминах лестничных операторов. $\hat{\textbf{S}}_m = ( \Sx{m},\Sy{m},\Sz{m} )$ . Теперь мы используем известные отношения лестничных операторов и этих пространственных операторов, чтобы переписать их в терминах лестничных операторов. $\Sx{m} = \frac{1}{2}(\Splus{m} + \Smin{m}), \Sy{m} = \frac{1}{2i}(\Splus{m} - \Smin{m})$ и из коммутационных соотношений следует, что $\Sz{m} = S - a^{\dagger}_m a_m$ как указано в вашем упражнении.

Теперь давайте вычислим этот внутренний продукт, который у вас есть в гамильтониане для некоторого $l,m$ :

\begin{aligned} {\hat{С}}_{л} \cdot {\hat{С}}_{м} & "=" \hat{С_{л}^{Икс}} \hat{С_{м}^{Икс}} + \hat{С_{л}^{у}} \hat{С_{м}^{у}} + \hat{С_{л}^{г}} \hat{С_{м}^{г}} \\ "=" \frac{1}{2} ({\hat{С}}_{л}^{+} + {\hat{С}}_{л}^{-}) \frac{1}{2} ({\hat{С}}_{м}^{+} + {\hat{С}}_{м}^{-}) + \frac{1}{2 я} ({\hat{С}}_{л}^{+} - {\hat{С}}_{л}^{-}) \frac{1}{2 я} ({\hat{С}}_{м}^{+} - {\hat{С}}_{м}^{-}) + С^{2} - С а_{л}^{†} а_{л} - С а_{м}^{†} а_{м} + а_{л}^{†} а_{л} а_{м}^{†} а_{м} \\ "=" \frac{1}{4} ({\hat{С}}_{л}^{+} {\hat{С}}_{м}^{+} + {\hat{С}}_{л}^{-} {\hat{С}}_{м}^{+} + {\hat{С}}_{л}^{+} {\hat{С}}_{м}^{-} + {\hat{С}}_{л}^{-} {\hat{С}}_{м}^{-}) - \frac{1}{4} ({\hat{С}}_{л}^{+} {\hat{С}}_{м}^{+} - {\hat{С}}_{л}^{-} {\hat{С}}_{м}^{+} - {\hat{С}}_{л}^{+} {\hat{С}}_{м}^{-} + {\hat{С}}_{л}^{-} {\hat{С}}_{м}^{-}) + С^{2} - С а_{л}^{†} а_{л} - С а_{м}^{†} а_{м} + а_{л}^{†} а_{л} а_{м}^{†} а_{м} \\ "=" \frac{1}{2} ({\hat{С}}_{л}^{-} {\hat{С}}_{м}^{+} + {\hat{С}}_{л}^{-} {\hat{С}}_{м}^{-}) + С^{2} - С а_{л}^{†} а_{л} - С а_{м}^{†} а_{м} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\textbf{S}}_l \cdot \hat{\textbf{S}}_m &= \Sx{l} \Sx{m} + \Sy{l} \Sy{m} + \Sz{l} \Sz{m} \\ &= \frac{1}{2}(\Splus{l} + \Smin{l})\frac{1}{2}(\Splus{m} + \Smin{m}) + \frac{1}{2i}(\Splus{l} - \Smin{l}) \frac{1}{2i}(\Splus{m} - \Smin{m}) + S^2 - Sa^{\dagger}_l a_l - Sa^{\dagger}_m a_m + a^{\dagger}_l a_la^{\dagger}_m a_m \\ &= \frac{1}{4} ( \Splus{l} \Splus{m} + \Smin{l} \Splus{m} + \Splus{l} \Smin{m} + \Smin{l}\Smin{m}) - \frac{1}{4} ( \Splus{l} \Splus{m} - \Smin{l} \Splus{m} - \Splus{l} \Smin{m} + \Smin{l}\Smin{m}) + S^2 - Sa^{\dagger}_l a_l - Sa^{\dagger}_m a_m + a^{\dagger}_l a_la^{\dagger}_m a_m \\ &= \frac{1}{2}(\Smin{l} \Splus{m} + \Smin{l}\Smin{m}) + S^2 - Sa^{\dagger}_l a_l - Sa^{\dagger}_m a_m \end{align}$

Где мы опустили член более высокого порядка $a^{\dagger}_l a_la^{\dagger}_m a_m$ . Теперь мы перепишем операторы лестницы с точки зрения операторов создания, как это предлагается в вашем вопросе, но сначала давайте немного перепишем эти выражения, используя $S - \langle S_m^z \rangle = \langle a_m^{\dagger}a_m \rangle <<S$ так $(1 - \frac{a_m^{\dagger}a_m}{2S})^{1/2} = 1$ .

\begin{aligned} {\hat{С}}_{м}^{-} & "=" а_{м}^{†} (2 С - а_{м}^{†} а_{м})^{1 / 2} "=" а_{м}^{†} \sqrt{2 С} (1 - \frac{а_{м}^{†} а_{м}}{2 С})^{1 / 2} "=" \sqrt{2 С} а_{м}^{†} \\ {\hat{С}}_{м}^{+} & "=" (2 С - а_{м}^{†} а_{м})^{1 / 2} а_{м} "=" \sqrt{2 С} а_{м} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{S}_m^- &= a^{\dagger}_m (2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2} = a^{\dagger}_m \sqrt{2S} (1 - \frac{a^{\dagger}_m a_m}{2S} )^{1/2} = \sqrt{2S} \ a^{\dagger}_m \\ \hat{S}_m^+ &= (2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2} a_m = \sqrt{2S} \ a_m\\ \end{align}$

Ваш вопрос упрощает решение, проверяя только ближайшего соседа. Это сводит гамильтониан к следующему:

\hat{ЧАС} "=" - Дж \sum_{м "=" 1}^{Н} {\hat{С}}_{м} \cdot {\hat{С}}_{м + 1}

$\hat{H} = - J\sum_{m=1}^N \hat{\textbf{S}}_m \cdot \hat{\textbf{S}}_{m+1}$

Подключив все наши выводы и немного переписав, мы получим:

\begin{aligned} \hat{ЧАС} & "=" - Дж \sum_{м "=" 1}^{Н} \frac{1}{2} ({\hat{С}}_{м}^{-} {\hat{С}}_{м + 1}^{+} + {\hat{С}}_{м + 1}^{-} {\hat{С}}_{м}^{-}) + С^{2} - С а_{м}^{†} а_{м} - С а_{м + 1}^{†} а_{м + 1} \\ "=" - Дж \sum_{м "=" 1}^{Н} С (а_{м}^{†} а_{м + 1} + а_{м + 1}^{†} а_{м}^{†}) + С^{2} - С а_{м}^{†} а_{м} - С а_{м + 1}^{†} а_{м + 1} \\ "=" - Дж \sum_{м "=" 1}^{Н} С^{2} + С (а_{м}^{†} (а_{м + 1} - а_{м}) + а_{м + 1}^{†} (а_{м} - а_{м + 1})) \\ "=" - Дж Н С^{2} - Дж С \sum_{м "=" 1}^{Н} (а_{м}^{†} - а_{м + 1}^{†}) (а_{м + 1} - а_{м}) \\ "=" - Дж Н С^{2} + Дж С \sum_{м "=" 1}^{Н} (а_{м + 1}^{†} - а_{м}^{†}) (а_{м + 1} - а_{м}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat{H} &= - J\sum_{m=1}^N \frac{1}{2}(\Smin{m} \Splus{m+1} + \Smin{m+1}\Smin{m}) + S^2 - Sa^{\dagger}_m a_m - Sa^{\dagger}_{m+1} a_{m+1} \\ &= - J\sum_{m=1}^N S(\ad{m}\a{m+1} + \ad{m+1}\ad{m} ) + S^2 - S\ad{m}\a{m} - S\ad{m+1}\a{m+1} \\ &= - J\sum_{m=1}^N S^2 + S(\ad{m}(\a{m+1} - \a{m}) + \ad{m+1}(\a{m} - \a{m+1})) \\ &= -JNS^2 - JS \sum_{m=1}^N(\ad{m} - \ad{m+1})(\a{m+1} - \a{m}) \\ &= -JNS^2 + JS \sum_{m=1}^N(\ad{m+1} - \ad{m})(\a{m+1} - \a{m}) \end{align}$

Ле Зунг · Answer 2

Поскольку это одномерная задача, гамильтониан можно переписать следующим образом:

ЧАС "=" - Дж \sum_{м "=" 1}^{Н} {\vec{С}}_{м} {\vec{С}}_{м + 1}

$H=-J\sum_{m=1}^{N}\vec{S}_m\vec{S}_{m+1}$ с

S_{N + 1} = S_{1}

$S_{N+1} = S_1$ (например, периодическое граничное условие)

$S^+$ и $S^-$ являются лестничными операторами спинового углового момента $\vec{S}$ и имеют следующий вид:

С^{\pm} "=" С^{Икс} \pm я С^{у}

$S^{\pm} = S^x\pm iS^y$ Так:

С^{Икс} "=" \frac{С^{+} + С^{-}}{2}, С^{у} "=" \frac{С^{+} - С^{-}}{2 я}

$S^x = \frac{S^+ + S^-}{2}, S^y = \frac{S^+ - S^-}{2i}$ Теперь мы вычисляем

{\vec{S}}_{m} {\vec{S}}_{m + 1}

$\vec{S}_m\vec{S}_{m+1}$ .

{\vec{С}}_{м} {\vec{С}}_{м + 1} "=" С_{м}^{Икс} С_{м + 1}^{Икс} + С_{м}^{у} С_{м + 1}^{у} + С_{м}^{г} С_{м + 1}^{г} "=" \frac{1}{2} (С_{м}^{+} С_{м + 1}^{-} + С_{м}^{-} С_{м + 1}^{+}) + С_{м}^{г} С_{м + 1}^{г}

$\vec{S}_m\vec{S}_{m+1} = S^x_mS^x_{m+1} + S^y_mS^y_{m+1} + S^z_mS^z_{m+1} = \frac{1}{2}\left(S^+_mS^-_{m+1}+S^-_mS^+_{m+1}\right)+S^z_mS^z_{m+1}$ У нас также есть (в первом порядке):

(2 С - а^{†} а)^{1 / 2} \approx (2 С)^{1 / 2} (1 - \frac{а^{†} а}{4 С})

$(2S - a^\dagger a)^{1/2}\approx (2S)^{1/2}\left(1 - \frac{a^\dagger a}{4S}\right)$ Подставляя это в выражения

S^{+}

$S^+$ и

S^{-}

$S^-$ , то расширив предыдущее уравнение (пренебрегая членами второго порядка и выше), вы получите искомый ответ (обратите внимание, что

[a_{m}, a_{n}^{†}] = δ_{m n}

$[a_m,a^\dagger_n]=\delta_{mn}$ )

Квантовый ферромагнетик

DeanTheMachine

Ответы (2)

пользователь1792605

Ле Зунг

Является ли спин-вращательная симметрия модели Китаева D2D2D_2 или Q8Q8Q_8?

Правила оптического отбора синглетных и триплетных экситонов

В чем разница между псевдоспином и спином?

Теорема Либа-Шульца-Маттиса о спиновой цепи Гейзенберга

Бозонизация для неравных левых и правых скоростей Ферми

Как понять разницу возбуждения спиновых волн для ферромагнетизма (квадратичная дисперсия) и антиферромагнетизма (линейная дисперсия)?

Почему ∏nj=1σ(j)x∏j=1nσx(j)\prod^n_{j=1}\sigma^{(j)}_x коммутирует с этим адиабатическим гамильтонианом? [закрыто]

Столкновения s-волн, p-волн или d-волн в теории рассеяния

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Концептуальный вопрос о трактовке взаимодействия функцией Грина