Квантово-полевые модели декогеренции

Можно ли интуитивно понять (или рассчитать!) какова эта скорость из электромагнитного поля?

Конечно. Для данной проблемы у вас будет система, о которой вы заботитесь$S$и окружающая среда$E$, которым в данном случае является электромагнитное поле. Гамильтониан системы имеет вид

$$H = H_S + H_E + H_I$$

где$H_S$является гамильтонианом для системы$S$,$H_E$- гамильтониан для электромагнитного поля, а$H_I$является взаимодействием. Точная форма взаимодействия зависит от решаемой проблемы. Предположим, у вас есть атом в электромагнитном резонаторе (то есть два зеркала, направленные друг на друга). Тогда взаимодействие между атомом и световым полем может быть хорошо аппроксимировано дипольным членом:

$$H_I = \vec{d} \cdot \vec{E}$$

где$\vec{d}$- дипольный момент соответствующего электронного перехода в атоме, а$\vec{E}$это электрическое поле.

Теперь вы хотите получить скорость декогеренции. Если одна из мод в оптическом резонаторе находится в резонансе с электронным переходом, гамильтониан взаимодействия можно привести к более простой форме, называемой формой Джейнса-Каммингса:

$$H_I=g\left( \sigma_+a + \sigma_- a^{\dagger} \right)$$

где$\sigma_-$($\sigma_+$) — понижающий (повышающий) оператор электронного перехода и$a$($a^{\dagger}$) — понижающий оператор для моды электромагнитного поля, находящейся в резонансе с электронным переходом. Если вы просто вычислите временную зависимость этой вещи, вы обнаружите, что возбуждения атома электромагнитного поля колеблются между атомом и световым полем с частотой$\omega=g$ $^{[1]}$.

На первый взгляд это может не звучать как декогеренция, но на самом деле это так. Предположим, мы начинаем систему с атома в состоянии$\left(|0\rangle+|1\rangle\right)/\sqrt{2}$а затем позвольте ему взаимодействовать со световым полем. Тогда состояние системы, зависящее от времени, равно

$$|\Psi(t)\rangle = \cos(\omega t)|10\rangle + i \sin(\omega t)|01\rangle$$

где$|10\rangle$означает, что атом возбужден и световое поле находится в основном состоянии, и$|01\rangle$означает, что атом находится в основном состоянии, но световое поле возбуждено. Теперь давайте спросим, ​​каково состояние атома, если мы пренебрегаем световым полем. Чтобы ответить на этот вопрос, вам нужно вычислить приведенную матрицу плотности для атома. Сокращать$c(t)\equiv \cos(\omega t)$и$s(t)\equiv \sin(\omega t)$для упрощения записи. Матрица полной плотности

$$\rho(t) = c(t)^2 |10\rangle\langle10| + s(t)^2|01\rangle\langle01| - i c(t)s(t)|10\rangle\langle01| + ic(t)s(t)|01\rangle\langle10|.$$

Если вы проследите за световым полем, чтобы найти приведенную матрицу плотности для атома, вы получите

$$\rho_{\text{atom}} = c^2(t)|1\rangle\langle1| + s(t)^2|0\rangle\langle0|.$$

Это вообще смешанное состояние. Система в смешанном состоянии продемонстрирует некоторую степень снижения своей квантовой когерентности.$^{[2]}$. Это состояние переходит от чистого к смешанному и обратно с частотой колебаний$\omega$. Итак, вот ваш расчет скорости декогеренции.

Теперь, конечно, в этой задаче когерентность действительно возвращается, потому что взаимодействие атома и светового поля носит колебательный характер. Здесь нет истинной «ставки». Однако, если у вас достаточно степеней свободы окружения при взаимодействии с$S$, время восстановления когерентности может быть астрономически долгим. В этих случаях система$S$кажется безвозвратно декогерентным, и во многих случаях когерентность следует за экспоненциальным спадом, так что вы можете определить истинную скорость.

Обратите внимание, что я упомянул большое количество степеней свободы. В случае расширенного фотонного поля количество фотонных мод достигает континуума, и существует действительно огромное количество степеней свободы окружающей среды, которые могут взаимодействовать с атомом. В этом случае, если бы вам нужно было вычислить скорость декогеренции атома, вы бы заново вывели золотое правило Ферми для скорости распада.

Если вы хотите узнать, как вычислить скорости распада с помощью интегралов по путям, поищите статьи Калдейры и Леггета.

[1] А может быть, это$\omega = g/2$, я забыл, что это такое.

[2] Если это утверждение нуждается в пояснении, пожалуйста, спросите.