Какова точная связь между бозонным фоковским пространством и квантовым гармоническим осциллятором?

Ссылка: Феттер и Валецка, Квантовая теория систем многих частиц , гл. 1

Гамильтониан для SHO:

$$H = \sum_{i = 0}^{\infty}\hbar \omega ( a_i^{+} a_i + \frac{1}{2} )$$

куда$\{a^+_i, a_i\}$являются операторами рождения и уничтожения для$i^\textrm{th}$собственное состояние (режим импульса). Фоковское пространство$\mathbf{F}$состоит из состояний вида:

$$\vert n_{a_0},n_{a_1}, ...,n_{a_N} \rangle$$

которые получаются при многократном воздействии на вакуум$\vert 0 \rangle$лестничными операторами:

$$\Psi = \vert n_{i_0},n_{i_1}, ...,n_{i_N} \rangle = (a_0^+)^{i_0} (a_1^+)^{i_1} \ldots (a_N^+)^{i_N} \vert 0 \rangle$$

Интерпретация$\Psi$как состояние, которое содержит$i_k$кванты$k^\textrm{th}$собственное состояние, созданное применением$(a^+_k)^{i_k}$на вакууме.

Приведенное выше состояние не нормализуется до тех пор, пока не будет умножено на коэффициент формы$\prod_{k=0}^N \frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Если ваши возбуждения бозонные, вам конец, потому что коммутатор лестничных операторов$[a^+_i,a_j] = \delta_{ij}$исчезает для$i\ne j$. Однако, если статистика ваших частиц не бозонная (фермионная или анионная), то порядок , в котором вы действуете на вакуум с помощью лестничных операторов, имеет значение.

Конечно, для построения фоковского пространства$\mathbf{F}$вам не нужно указывать гамильтониан. Нужны только лестничные операторы с их коммутационными/антикоммутационными соотношениями. В обычных задачах о плоском пространстве лестничные операторы соответствуют нашим обычным модам Фурье.$a^+_k \Rightarrow \exp ^{i k x}$. Для искривленного пространства-времени эту процедуру можно обобщить, определив наши лестничные операторы так, чтобы они соответствовали подходящим положительным (отрицательным) частотным решениям лапласиана в этом пространстве. Для получения дополнительной информации см. Wald, QFT in Curved Spacetimes . Теперь для любого гамильтониана вида:

$$H = \sum_{k=1}^{N} T(x_k) + \frac{1}{2} \sum_{k \ne l = 1}^N V(x_k,x_l)$$

с кинетическим термином$T$для частицы в$x_k$и попарный потенциальный член$V(x_k,x_l)$, можно записать квантовый гамильтониан через матричные элементы этих операторов:

$$H = \sum_{ij} a^+_i \langle i \vert T \vert j \rangle a_i + \frac{1}{2}a^+_i a^+_j \langle ij \vert V \vert kl \rangle a_l a_k$$

куда$|i\rangle$состояние с одним возбужденным квантом, соответствующим действию$a^+_i$на вакууме. (Подробности, этапы см. в Fetter & Walecka, Ch. 1).

Я надеюсь, что это поможет решить некоторые из ваших сомнений. Так как вы из математики, должны быть семантические различия между моим языком и вашим, поэтому, если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.

Давайте сначала обсудим гармонический осциллятор. На самом деле это очень особенная система (единственная в своем роде во всей КМ), сама в некотором смысле уже вторично квантованная (этот момент будет объяснен позже).

Во-первых, общий разговор о HO (пропустите этот абзац, если вы уже знаете их вдоль и поперек). Его гамильтониан можно выразить как$H = \hbar \omega(N + 1/2)$куда$N = a^{\dagger} a$а также$a$является линейной комбинацией оператора импульса и положения). Используя коммутационные соотношения$[a, a^{\dagger}] = 1$получается основа$\{ \left| n \right >$|$n \in {\mathbb N} \}$с$N \left | n \right > = n$. Таким образом, мы получаем удобную интерпретацию, что этот базис на самом деле является числом частиц в системе, каждая из которых несет энергию$\hbar \omega$и что вакуум$\left | 0 \right >$имеет энергию$\hbar \omega \over 2$.

Теперь приведенная выше конструкция была фактически такой же, как ваша для$X = \{0\}$. Конструкцию Фока (также известную как вторичное квантование) можно понимать как введение частиц,$S^i$соответствующий$i$частицы (поэтому HO — вторичное квантование частицы с одной степенью свободы). В любом случае мы получаем позиционно-зависимые операторы$a(x), a^{\dagger}(x), N(x)$а также$H(x)$которые для каждого$x \in X$изоморфны операторам HO, обсуждавшимся ранее, а также получают базовые$\left | n(x) \right >$(хотя на самом деле я не уверен, что это низость в строгом смысле этого слова; эти вопросы мало обсуждаются физиками в теории поля). Полный гамильтониан$H$тогда будет интеграл$H = \int H(x) dx$. Общее состояние в этой системе выглядит как пучок разбросанных повсюду частиц, и на самом деле это корпускулярное описание свободного бозонного поля.

Предположим, как и вы, что$K$есть пространство состояний одного бозона. Тогда пространство состояний объединенной системы двух бозонов не равно$K\otimes K$как это было бы, если бы два бозона были различимы, это симметричное подпространство, которое вы обозначаете как$S^2$. Ваша сумма по всем$i$, который вы обозначаете$S$, тогда является гильбертовым пространством (пространством состояний) новой системы, состояния которой содержат состояния системы с одним бозоном, системы с двумя бозонами, системы с тремя бозонами и т. д., за исключением бесконечного числа бозонов. (что не входит в пространство$S$). И ваше пространство$S$включает суперпозиции, например, если$v_1$является элементом$S$(состояние одного бозона) и если$v_3 \in S^3$(состояние трехбозонной системы), то$0.707 v_1 - -.707 v_3$это государство, которое имеет пятьдесят процентов. вероятность быть одним бозоном, если измеряется число частиц, и пятьдесят процентов. Вероятность обнаружения трех бозонов. В этом физический смысл фоковского пространства. Это пространство состояний, на котором действуют операторы квантового поля.

Как уже заметил Эрик Заслоу, если$H$является гамильтонианом хо$K$, то по определению$H\otimes I + I \otimes H$является гамильтонианом на$S^2$и т.д. на каждом$S^i$. Затем их все суммируют, чтобы получить гамильтониан прямой суммы$S$.

Если этот гамильтониан не возмущен, число частиц, очевидно, постоянно, так как он сохраняет каждое подпространство$S^i$из$S$. Так что не будет ни рождения, ни уничтожения пар частиц. Если это поле войдет во взаимодействие с посторонней частицей, то гамильтониан, конечно, возмущается.

Это связано с секундным квантованием следующим образом: если у вас есть классическое хо и вы квантуете его, вы получаете$K$. Если вы теперь второй квантизации$K$, Вы получаете$S$которое можно рассматривать как квантовое поле. Сэр Джеймс Джинс показал еще до квантовой революции, что классическое электромагнитное поле может быть получено из классической механики как предел все большего и большего количества классических хо, не взаимодействующих друг с другом, и эта процедура вторичного квантования является квантовым аналогом. Это не та же самая процедура, как если бы вы начали с классического поля, а затем квантовали его. Но примечательно, что вы можете получить один и тот же ответ в любом случае, как заметил JEans в классическом случае. То есть вы начали с квантовой одночастичной системы, перешли в фоковское пространство и получили соответствующую этой системе квантовую теорию поля. Но мы могли бы начать с классического поля, проквантовать его и таким образом получить квантовое поле.