L1L1L^{1} тензоры энергии-импульса в ОТО; полуклассическая гравитация

Question

L1L1L^{1} тензоры энергии-импульса в ОТО; полуклассическая гравитация

Артур Суворов

Я не был уверен, задавать ли этот вопрос на форуме физики или математики, но это интересная идея, о которой я думал в течение некоторого времени.

В любой (полу)классической теории поля часто предполагается, что лагранжианы теории $\mathcal{L}$ сами являются гладкими функциями некоторого вида над лоренцевым (римановым) многообразием $\Omega$ , но можем ли мы позволить материальной части теории быть, скажем, распределительной? Обычно мы всегда начинаем с действия:

$\mathcal{S} = \int_{d \Omega} d^{4} x \sqrt{-g} (\mathcal{L}_{Field} + \mathcal{L}_{Matter})$

Принципы Эйлера-Лагранжа и наименьшего действия приводят к уравнениям поля с $\delta \mathcal{S} = 0$ .

В частности, меня интересует общая теория относительности, в которой мы имеем $\mathcal{L}_{Field}$ это просто лагранжиан Эйнштейна-Гильберта $\mathcal{L}_{Field} = R$ приводя к уравнениям поля (избегая констант):

$R_{\mu \nu} - \frac {1} {2} g_{\mu \nu} R = T_{\mu \nu}$

Где, используя конструкцию Гильберта, $T^{\mu \nu} = 2 \frac {\delta \mathcal{L}_{Matter}} {\delta g_{\mu \nu}} + g^{\mu \nu} \mathcal{L}_{Matter}$ .

Что, если мы сейчас позволим $T_{\mu \nu} \in L^{1}(\Omega)$ или $T_{\mu \nu} \in H^{1}(\Omega)$ ? Другими словами, мы уменьшаем требования регулярности к тензору энергии напряжения и позволяем ему находиться в менее регулярном пространстве.

Мне приходят в голову интересные примеры вида:

я) $T_{\mu \nu} \propto \rho(t,r) \delta{(t - t_{0})}$ ; может ли это позволить ввести космологическую сингулярность, связанную с Большим взрывом или чем-то в этом роде? Возможно, для этого можно было бы разработать обобщенные уравнения Фридмана, которые могли бы обеспечить полуклассический анализ развития Большого взрыва.

ii) Обычно (идеальная) жидкость моделируется тензором напряжений Эйлера. $T_{\mu \nu} = \rho v_{\mu} v_{\nu} + P \delta_{\mu \nu}$ где тогда можно $\rho$ и $P$ описать распределение вещества звезды. Если вместо этого использовать распределительный объект, скажем, даже гауссовский, и иметь самую плотную материю ближе к ядру или что-то в этом роде, может ли это дать плодотворный альтернативный подход? Можно было бы исследовать звездную эволюцию (или, по крайней мере, установить границы) для звезд с (несколько) неопределенными ансамблями материи.

iii) броуновское движение вблизи черных дыр или других плотных объектов; можно взять $T_{\mu \nu}$ напоминать винеровский процесс , позволяющий определенным атомным аномалиям отклонять траекторию частиц, когда они падают к этим объектам. Это может иметь последствия для таких вещей, как излучение гравитационных волн.

Есть прекрасная математика, позволяющая проводить некоторый анализ этих объектов с использованием соболевских пространств и вложений; (Бенилан и др., "Ан $L^1$ "Теория существования и единственности решений нелинейных эллиптических уравнений"; А. Принье "Замечания о существовании и единственности решений эллиптических задач с правосторонней мерой"; работы Боккардо и Галлуэ и др.). для эллиптических задач, но, по-видимому, можно использовать их методы, используя разбиение ADM 3 + 1 или что-то в этом роде.Я видел кусочки этого механизма, используемые в контексте электромагнетизма, но, похоже, физическое сообщество в значительной степени избегает их.

Была ли проведена какая-либо работа в отношении такого рода идей?

Спасибо за любой вклад!

да

Привет, я думаю, что то, что вы спрашиваете, связано с идеей распределительной геометрии. Если источниками материи являются распределения, мы не можем ожидать, что геометрия будет гладкой. В этой статье говорится о том, до какой степени имеет смысл рассматривать тензор Римана как распределение. arxiv.org/abs/0811.1376 Кроме того, когда вы говорите о тензоре с коэффициентами распределения, нет канонического способа сделать это, поскольку большую часть времени вы должны выбрать специальный тип координат для представления распределения.

Джерри Ширмер

И это, безусловно, тот случай, когда люди пробовали теории наподобие

R_{a b} - \frac{1}{2} R g_{a b} = 8 π ⟨ T_{a b} ⟩

$R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} = 8\pi \left<T_{ab}\right>$ , но тогда проблема в том, что вы странным образом комбинируете квантовые степени свободы с классическими степенями свободы, и такие вещи, как коллапс волновой функции, вызовут прерывистые, акаузальные изменения в геометрии пространства-времени.

пользователь46925

о том, что мы уменьшаем требования регулярности к тензору энергии напряжения и позволяем ему находиться в менее регулярном пространстве : частично связано с гипотезой об ограниченной кривизне L2 ?

Ответы (2)

L1L1L^{1} тензоры энергии-импульса в ОТО; полуклассическая гравитация

Привет, я думаю, что то, что вы спрашиваете, связано с идеей распределительной геометрии. Если источниками материи являются распределения, мы не можем ожидать, что геометрия будет гладкой. В этой статье говорится о том, до какой степени имеет смысл рассматривать тензор Римана как распределение. arxiv.org/abs/0811.1376 Кроме того, когда вы говорите о тензоре с коэффициентами распределения, нет канонического способа сделать это, поскольку большую часть времени вы должны выбрать специальный тип координат для представления распределения.
И это, безусловно, тот случай, когда люди пробовали теории наподобие $R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} = 8\pi \left<T_{ab}\right>$ , но тогда проблема в том, что вы странным образом комбинируете квантовые степени свободы с классическими степенями свободы, и такие вещи, как коллапс волновой функции, вызовут прерывистые, акаузальные изменения в геометрии пространства-времени.
о том, что мы уменьшаем требования регулярности к тензору энергии напряжения и позволяем ему находиться в менее регулярном пространстве : частично связано с гипотезой об ограниченной кривизне L2 ?

кесарулия · Answer 1

Сначала я попытаюсь перефразировать ваш вопрос. Уравнения поля Эйнштейна

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi T_{\mu\nu}$

являются (как хорошо известно) системой гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных (выводимых из принципа действия, хотя я не вижу уместности этого пункта здесь). Как таковые, они порождают проблему с начальными значениями, а именно, при заданном наборе начальных условий, обычно римановом многообразии вместе с внешними данными о кривизне и дополнительными данными из полей материи, найти лоренцево многообразие, удовлетворяющее уравнениям Эйнштейна, так что начальные данные соответствуют к заданной гиперповерхности (и полям, определенным внутри нее). Другими словами, нам нужны результаты для существования и единственности решений.

Классический результат И. Шоке-Брюа и Р. Жероша обеспечивает глобальное существование и единственность гладких начальных данных. Здесь, я думаю, лежит ваш вопрос, а именно. Можем ли мы ослабить предположение о гладкости и работать с пространствами начальных данных более низкой регулярности?

Наверняка да! Несколько старая ссылка - это Клайнерман и Роднянски от 2001 года, которые доказывают результаты для исходных данных. $H^{2+\epsilon}$ . Заметим, что тензор энергии-импульса не является частью начальных данных как таковых, но является косвенным, поскольку он задается полевыми конфигурациями. В качестве примечания, примерное руководство говорит, что вам понадобится $T_{\mu\nu}$ быть по крайней мере дифференцируемым, потому что вам нужно обеспечить локальное сохранение энергии $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$ . Это утверждение является источником общей фразы о том, что метрика должна быть не менее $C^3$ , учитывая, что кривизна содержит вторые производные.

Я не очень хорошо разбираюсь в этой конкретной области исследований, но в прошлом году я посетил конференцию, на которой Петр Хрускиэль выступил с докладом об улучшении этих результатов для еще менее регулярных исходных данных, так что я думаю, что это остается хорошей темой в математической теории относительности.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Доклад Хрускиэля был основан на этой статье , в которой обсуждается лоренцевская причинность для метрик, которые являются только непрерывными, но не дифференцируемыми (результаты причинности важны в статье Шоке-Брюа-Героха). Интересно показывает, что $C^0$ метрики имеют странную причинно-следственную структуру, а именно существуют открытые множества с точками, доступными нулевым кривым, но не времениподобным. Наглядно это означает, что световой конус может стать «толстым». Там вы найдете множество ссылок на более новые результаты для низких регулярных начальных данных, дополняющие результат Клайнермана-Роднянского. Хорошим дополнением к этой статье является статья , также принадлежащая Хрускиэлю, в которой приводятся современные результаты теории причинности, показывающие, насколько регулярной должна быть метрика для каждой теоремы.

Что касается потенциального интереса, по крайней мере, с моей точки зрения, идея состоит в том, что с меньшей регулярностью мы лучше контролируем поведение уравнений Эйнштейна, а это означает, что решения меньше зависят от деталей исходных данных. Те, кто чувствовали бы себя наиболее уверенно тогда, были бы ребятами из Численной Относительности.

Из вашего списка я бы прокомментировал так

i) Упомянутый вами объект не соответствует сингулярностям общей теории относительности. Важнейшим моментом сингулярностей является геодезическая неполнота многообразия, и многие методы полностью игнорируют в нем вопрос УЧП, см., например, «Общую теорию относительности» Вальда. С физической точки зрения проблема при работе с сингулярностями заключается не в низкой регулярности решения, а скорее в том, что мы ожидаем, что квантовая гравитация уместна. Поэтому я считаю справедливым сказать, что никто не ожидает, что сингулярности сами по себе будут иметь разрешение в классической теории относительности. Даже если бы такой подход существовал, неясно, будет ли он физически релевантен.

ii) В настоящее время (одной из) величайших проблем в звездной эволюции является крайняя чувствительность пределов массы и подобных вещей по отношению к уравнению состояния. $\rho(p)$ . Поэтому большая часть исследований посвящена ядерной и субъядерной физике (я нашла эти слайды , они дают общее представление о гонке по ограничению огромного количества различных уравнений состояния). Но это может быть интересный подход, хотя я не уверен, куда вы могли бы пойти, мне, безусловно, было бы интересно услышать об этом.

iii) Релятивистское броуновское движение является сложной темой, учитывая потерю марковского свойства . Я тоже не уверен, куда это пойдет.

В качестве последнего комментария вы используете (очевидно) другое определение классической и полуклассической теорий поля, по крайней мере, из того, что я обычно вижу в гравитационном сообществе. Классические теории поля — это теории, которые не опираются на квантовую механику ни в какой форме, будь то релятивистская, как электромагнетизм, или нерелятивистская, как классическая проблема струны. Полуклассическая теория поля означает квантово-механический подход к материи, но классический гравитационный подход. Известным результатом является излучение Хокинга. В этом контексте преобладают квантовые поля над классическим пространством-временем, распределенные тензоры энергии-импульса из-за квантовой природы вовлеченного вещества. Решение проблем, возникающих из-за наличия этих дистрибутивов, заключается в перенормировке.в искривленном пространстве-времени. Если вам нравится функциональный анализ в этом контексте, вы можете попробовать заглянуть в книгу Фуллинга .

Очень хороший ответ! Я был знаком с этой статьей Брюа и Героха, но не с расширением Клайнермана Роднянского! Очень признателен. Интересно, что вы упоминаете уравнение $\nabla^{\mu} T_{\mu \nu} = 0$ , это действительно необходимое ограничение. На $H^{p}$ мы можем использовать интегрирование по частям, чтобы дать формальное определение дифференцированию через $<\partial_{\mu} f, \varphi> = -<f, \partial_{\mu} \varphi>$ за хорошую тестовую функцию $\varphi$ ; возможно, что-то подобное позволяет $<\nabla^{\mu} T_{\mu \nu}, \varphi> = -<T_{\mu \nu}, \nabla^{\mu} \varphi>$ может быть, с дополнительным термином или двумя на RHS.
@ArthurSuvorov, я нашел газету Хрускиэля, из которой он выступил с упомянутой речью, и соответствующим образом отредактировал свой ответ. Там вы найдете больше ссылок, особенно на более поздние работы. Если вам нужна дополнительная информация, я думаю, это будет хороший вопрос на math.overflow. Касательно $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$ это следствие тождеств Бьянки, но я полагаю, что ваше предложение укротить его с помощью хороших тестовых функций выглядит действительно многообещающе.

ДжамалС · Answer 2

Есть много случаев, когда мы рассматриваем тензор энергии-импульса, который является не гладкой функцией, а скорее распределением. В частности, в гравитационных теориях бран часто $T_{\mu\nu} \propto \delta(w)$ где $w$ — координата, поперечная бране. Это позволяет определить тензор поверхностной энергии-импульса,

С_{мю ν} \sim \int_{- \infty}^{\infty} д ж Т_{мю ν}

$S_{\mu\nu} \sim \int_{-\infty}^\infty dw \, T_{\mu\nu}$

браны, и ограничения на внешнюю кривизну связаны с этой энергией напряжения через условия соединения Исраэля, которые также рассмотрели пылевые оболочки, которые допускают аналогичные негладкие тензоры энергии напряжения.

Вероятно, самой известной установкой является модель Рэндалла-Сандрума, но их много, например, вложение браны де Ситтера в $\mathrm{AdS_5}$ , что порождает 5D-энергию напряжения,

Т_{Н}^{М} "=" - Λ_{5} {дельта}_{Н}^{М} + дельта (ж) \times с о н с т .

$T^M_N = -\Lambda_5 \delta^M_N + \delta(w)\times \mathrm{const}.$

Что касается математической достоверности, я не уверен, но эти модели, безусловно, изучены, и существующий предыдущий ответ, безусловно, демонстрирует, что мы можем рассматривать другие классы энергии напряжения.

L1L1L^{1} тензоры энергии-импульса в ОТО; полуклассическая гравитация

Артур Суворов

да

Джерри Ширмер

пользователь46925

Ответы (2)

кесарулия

Артур Суворов

кесарулия

ДжамалС

Генерируют ли фотоны гравитационные волны, поскольку своей энергией они воздействуют на тензор напряжений? [дубликат]

Тензор энергии-импульса от действия поля материи

Может ли тензор энергии напряжения обратиться в нуль в общей теории относительности?

Разница между μμ\mu и T00T00T_{00} в растворах идеальной жидкости?

Конкретное решение уравнения поля Эйнштейна

тензор четвертого ранга для энергии напряжения

Геодезические от решения уравнений полного поля такие же, как путь от тензора энергии-импульса?

В каком режиме справедливо квазиклассическое приближение гравитации?

Говорит ли эквивалентность между инертной и гравитационной массами что-нибудь о механизме Хиггса?

Что такое тензор энергии напряжения?