тензор четвертого ранга для энергии напряжения

Тензор Вейля приравнивает тензор Римана в вакууме

С мю ν η λ "=" р мю ν η λ

Так что это заставляет меня задуматься о тензоре

Т мю ν η λ "=" С мю ν η λ − р мю ν η λ

и как это связано с тензором энергии-импульса 2-го ранга Т мю ν . В частности, оба тензора равны нулю и не равны нулю в одних и тех же областях, поэтому они должны быть связаны. С другой стороны, общая теория относительности говорит, что материя влияет на геометрию только через тензор 2-го ранга, поэтому теоретически ни один тензор более высокого ранга не должен содержать больше информации о полях материи, чем то, что он (тензор 2-го ранга) уже содержит.

Я пытаюсь выяснить, можно ли интерпретировать тензор 4-го ранга как содержащий больше информации о полях энергии-материи или дополнительные степени свободы строго геометрические. Вопрос актуален для рассмотрения альтернативных формулировок соотношения кривизны материи, стремящихся к уравнению Эйнштейна в некотором разумном пределе

Ответы (2)

Этот объект связан с тензором Схоутена ,

С а б "=" 1 н − 2 ( р а б − р 2 ( н − 1 ) г а б ) .
Мы нашли
С а б с д − р а б с д "=" − 4 С [ а [ с дельта б ] д ] .
Как упоминает @Luboš Motl, этот тензор зависит только от тензора Риччи и скалярной кривизны. То есть он «знает» не больше, чем Риччи — с точки зрения геометрии в нем нет ничего нового.

Нет смысла спрашивать, как это связано с Т а б без уравнений Эйнштейна или какой-либо явной «альтернативной формулировки». Если предположить, что уравнения Эйнштейна можно принять, это простое упражнение, чтобы решить их, используя р "=" − 2 н − 2 8 π Т и р а б "=" 8 π ( Т а б − 1 н − 2 г а б Т ) .

Можно просто вычислить и упростить ваш тензор Т 4 . Следуя определению тензора Вейля, очевидно, что ваш

Т а б с д "=" − 2 н − 2 ( г а [ с р д ] б − г б [ с р д ] а ) + 2 ( н − 1 ) ( н − 2 ) р г а [ с г д ] б
поэтому даже без использования каких-либо уравнений движения ваш тензор является функцией только тензора Риччи (и скаляра Риччи, который в любом случае является следом тензора Риччи). Так что действительно, в вакууме, где тензор Риччи обращается в нуль по уравнениям Эйнштейна без правой части, ваш тензор тоже исчезает.

Совершенно нелогично называть этот тензор «обобщением тензора энергии-импульса», потому что, как вы его определили, он зависит только от метрики и ее производных. Вы также можете заменить тензор Риччи в приведенной выше формуле соответствующим кратным тензору энергии-импульса (с перевернутым следом), используя уравнения Эйнштейна. Тогда вы увидите, что Т с четырьмя индексами действительно могут быть получены из таких объектов, как Т а б г с д .

Но для чего это было бы хорошо? Если ваш вопрос заключается в том, является ли этот объект естественным, полезным или чем-то оправданным, мой ответ - нет. Тем не менее, если вас волнуют различные другие поля с 4 индексами и симметриями тензора Римана, вы можете прочитать следующее Статья 2000 года Криса Халла (стр. 10 и т. д.):

http://arxiv.org/abs/hep-th/0011215

Привет, Люмо, я ценю, что все это выражено в терминах метрики и тензора Риччи. Если подумать, ваш аргумент должен относиться и к тензору Эйнштейна, поскольку он зависит от тех же величин. Означает ли это, что тензор Эйнштейна зависит «только от метрики и ее производных»? ясно, что это просто неправда.
Да, очевидно, тензор Эйнштейна зависит только от метрики и ее производных, подобно тензору Римана, тензору Риччи, скаляру Риччи, тензору Вейля или чему-либо еще в этом роде. Все эти объекты описывают кривизну геометрии пространства-времени и ничего более. ВТФ? Уравнения Эйнштейна связывают тензор Эйнштейна с тензором энергии-импульса материи — именно так материя искривляет пространство-время — но эти уравнения не являются определениями ни одного из объектов и не выполняются по определению. Это динамические законы Природы, которые выполняются, когда они выполняются.
также аргумент, что его можно выразить как несжатые тензорные произведения тензора энергии-импульса 2-го ранга и метрики, действителен, но обратите внимание, что он основан на предположении уравнения Эйнштейна. Я пытался сделать этот вопрос более метавопросом, не прибегая к уравнению Эйнштейна (что привело бы к неудаче из-за тавтологии).
Моя первая формула не опирается на уравнения Эйнштейна. Если вы хотите искусственно втиснуть тензор энергии-импульса в эти чисто геометрические величины (а тензор Римана, тензор Вейля и все их функции и комбинации являются чисто геометрическими величинами, хотите вы этого или нет), вы, очевидно, должны использовать уравнения Эйнштейна, потому что они Это единственный способ, которым тензор энергии-импульса может быть связан с геометрией. Так что, если вы нелогично хотите ввести тензор энергии-импульса в эти геометрические рассуждения, это ваша вина, а не моя, что приходится использовать уравнения Эйнштейна.
Как я показал, но как вы до сих пор совершенно не смогли прочитать и понять, ваш, казалось бы, 4-индексный тензор зависит только от 2-индексного тензора Риччи, поэтому весь 4-индексный материал — это просто дополнительный багаж, который затемняет суть. Ваш тензор Т имеет меньше независимых компонентов, чем тензор Римана, потому что его можно вычислить из 2-индексного тензора, тензора Риччи. Вы можете написать уравнения для вашего тензора Т 4 но они по-прежнему будут просто уравнениями Эйнштейна, умноженными на г с д различными простыми способами.
я добавил несколько комментариев к моему вопросу, которые поясняют, что контекст рассматривает альтернативные формулировки отношения кривизны и материи, надеюсь, это устранит путаницу.
Если бы вам нужна была теория, которая имела бы основные уравнения, ограничивающие общий тензор с 4 индексами с симметриями тензора Римана, вам также потребовалось бы такое же количество независимых степеней свободы, которые ограничиваются этими уравнениями. Если основным полем является метрика г а б , очевидно, что уравнения (полученные из вариации действия по отношению к этому полю) должны быть Т а б уравнения стиля тоже. Если вам нужны уравнения с 4 индексами, вам нужны базовые поля с 4 индексами. Я дал ссылку на статью Халла, в которой обсуждается такая теория.
когда вы говорите «потому что это единственный способ, которым тензор энергии-импульса может быть связан с геометрией», вот оно! это то, что я спрашиваю. Если вы знаете, как это доказать, то опубликуйте это как ответ. Спасибо!
Я уже объяснил, почему ваша умозрительная часть вопроса, который вы только что добавили, основана на элементарных детских ошибках в логике.
тензор четвертого ранга для энергии напряжения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v