Понимание The Art of Electronics математическое объяснение конденсаторов

Автор упоминает, что читатель не должен беспокоиться, если он не может справиться с математикой, однако мне это неудобно. Проблема в том, что автор не объясняет, для чего нужны математические переменные, поэтому я хотел бы, чтобы кто-то, кто это понял, разъяснил. Дайте следующую схему

схематический

смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab

В нем упоминается, что в момент времени = 0 уравнение для тока имеет вид

я "=" С д в д т "=" В я − В р
Автор не уточняет, что такое V i или V. Однако я могу сделать вывод, что вам нужно будет вычесть напряжение, подаваемое аккумулятором, на напряжение конденсатора. V i — напряжение источника, V — напряжение на конденсаторе. После этого они определяют V (напряжение конденсатора) как
В "=" В я + А е − т р С
Что меня здесь смутило, так это то, что член V i делал в выражении для начального напряжения на конденсаторе, или V i означает что-то еще? также что означает А? Как затем утверждает автор, A определяется начальными условиями V=0 ,t=0. A будет равно -V i, поэтому тогда
я "=" В я − ( В я + ( − В я * е − т / р С ) р "=" В я * − е − т / р С р
в этот момент я потерял след интуиции, стоящей за этим, и если бы кто-нибудь мог объяснить мне, что имеет в виду автор, или просто интуицию, стоящую за математикой, я был бы признателен.

dV — это изменение напряжения, поэтому Vi находится в начальном напряжении, а V — в конечном напряжении в интересующий вас момент времени. «A» — это просто константа-заполнитель, которую он затем выводит.
Значит, нет термина для подаваемого напряжения?
В настоящее время я читаю, и в нем говорится, что V = Vi * (1-e ^ -t / RC), если Vi представляет собой начальное напряжение на конденсаторе, если бы оно было равно нулю, то V всегда было бы равно нулю, имеет больше смысла, если бы Vi был источником питания напряжение, так как левый член приближается к 1, которое умножается на Vi (напряжение питания), чтобы получить V, который приближается к напряжению питания Vi
Я думаю, ваша проблема в том, что обозначение диаграммы и математическое обозначение не были сопоставлены первоначальным автором или подобраны корректором. C относится к C1, R относится к R1, Vi (даже не показано на схеме) — это начальное напряжение на конденсаторе, а V1 — это напряжение источника V.
В моем экземпляре этой (отличной) книги - в мягкой обложке, 1983 г. - то, что вы показали как источник напряжения V1, вместо этого изображено как батарея с маркировкой Vi.
Ваш вопрос об А и начальных условиях заставляет меня думать, что вы впервые видите решение дифференциального уравнения. По крайней мере, необходимо немного познакомиться с этим, прежде чем вы сможете понять переходный анализ цепей RLC. Подойдет любой вводный текст по дифференциальным уравнениям. Первое, что я нахожу в Google, это math.sci.ccny.cuny.edu/document/show/2130 .
Да, иногда мне трудно понять уравнения (8 класс)
Если вы учитесь в восьмом классе, все может быть немного сложнее. Это зависит от того, насколько хорошо вы разбираетесь в алгебре. (Практически все в науке и технике зависит от алгебры. Серьезно — это очень важно. Если вы можете хорошо успевать только по одному математическому предмету за все время своего обучения в K-12, сделайте его алгеброй.) Уравнения цепей могут быть хорошей практикой. Для этого конкретного примера вы также должны убедиться, что понимаете показатели степени и экспоненциальное затухание. (Это не так сложно. Просто убедитесь, что вы знаете, что x^0 = 1 и т. д.). Вы также можете попытаться получить базовое интуитивное представление о том, что такое дериватив.

Ответы (1)

Во-первых, вы должны знать, что рассмотрение теории цепей в «Искусстве электроники» очень краткое. В настоящем учебнике по анализу цепей константы времени будут описаны гораздо более подробно, а также приведено больше примеров.

Ваша схема выглядит как рисунок 1.31 из раздела 1.13. Вы упустили переключатель и начальные условия и неправильно обозначили источник напряжения. Батарея В я , нет В 1 . Вот исправленная версия:

схематический

смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab

Подразумевается (но не утверждается), что конденсатор разряжается при t = 0, так что V начинается с нуля вольт. Когда переключатель разомкнут, нет пути постоянного тока от V к земле, поэтому мы должны сделать такое предположение.

Как только переключатель замкнут, ток может начать течь. Математический подход к этому состоит в том, чтобы написать уравнение, используя Закон тока Кирхгофа (KCL). Из-за конденсатора это будет дифференциальное уравнение первого порядка:

с ты р р е н т   о ты т   о ф   В я "=" с ты р р е н т   я н т о   С
В я − В р "=" С д В д т

(Дифференциальное уравнение — это уравнение, включающее скорость изменения. Здесь д В д т это скорость изменения V по отношению ко времени.) Затем вы можете решить это, чтобы получить уравнение вида:

В "=" В я + А е − т / р С

где e — основание натурального логарифма (~2,718), а A — неизвестная константа. Вы можете найти константу, используя начальное условие В т "=" 0 "=" 0 .

Альтернативный способ взглянуть на это - сказать, что конденсатор действует как разомкнутая цепь при постоянном токе и как короткое замыкание, когда напряжения в цепи быстро меняются. В тот момент, когда мы замыкаем переключатель, происходит быстрое изменение... В я внезапно применяется все сразу. Конденсатор действует как короткое замыкание на землю, поэтому ток В я / р . Через долгое время напряжение стабилизировалось, и у нас фактически есть цепь постоянного тока. Конденсатор действует как разомкнутая цепь, поэтому В "=" В я и тока нет.

Переход между этими двумя состояниями происходит по экспоненциальному затуханию. Это означает, что уравнение для V будет иметь такой член, как е − т / т , где т (тау), называемая «постоянной времени», определяет скорость распада. При t = 0 этот экспоненциальный член равен 1. Когда t -> бесконечность, экспоненциальный член уменьшается до 0. Мы можем использовать это, чтобы получить уравнение для V:

В "=" ( ф я н а л   с о н д я т я о н ) − ( д я ф ф е р е н с е   б е т ж е е н   ф я н а л   а н д   я н я т я а л   с о н д я т я о н с ) * ( е Икс п о н е н т я а л   т е р м )

При t = 0, когда экспоненциальный член равен 1, это дает нам:

В "=" ( ф я н а л   с о н д я т я о н ) − ( д я ф ф е р е н с е   б е т ж е е н   ф я н а л   а н д   я н я т я а л   с о н д я т я о н с ) "=" ( я н я т я а л   с о н д я т я о н )

При t = бесконечность, когда экспоненциальный член равен 0, это дает нам:

В "=" ( ф я н а л   с о н д я т я о н ) − 0 "=" ( ф я н а л   с о н д я т я о н )

В этой схеме наше начальное условие В "=" 0 . Наше конечное условие В "=" В я . Разница между ними заключается В я − 0 "=" В я . Обычно нам приходится решать дифференциальное уравнение, чтобы получить постоянную времени т , но книга говорит нам, что для RC-цепи т "=" р С . Теперь мы можем написать окончательное уравнение:

В "=" В я − В я е − т / р С

Когда начальное условие равно нулю (как здесь), мы можем записать уравнение как:

В "=" ( ф я н а л   с о н д я т я о н ) * ( 1 − ( е Икс п о н е н т я а л   т е р м ) )

который дает:

В "=" В я ( 1 − е − т / р С )

И это именно то, что есть в книге.

Понимание The Art of Electronics математическое объяснение конденсаторов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v