Неделю назад я спросил людей на этом сайте, какая математическая подготовка необходима для понимания квантовой физики, и большинство из вас упомянули линейную алгебру, поэтому я решил провести самостоятельное изучение линейной алгебры. Конечно, у меня всего 1 неделя, но у меня есть несколько вопросов.
Как это будет применимо к квантовой физике? Я узнал о матрицах (сложение, вычитание, умножение и обращение) и о том, как решать множественные уравнения с тремя неизвестными с помощью матриц, и теперь я начинаю изучать векторы. У меня всего 1 неделя, так что это, вероятно, даже не верхушка айсберга, но я хочу знать, как это мне поможет.
Кроме того, скажем, я осваиваю линейную алгебру в целом за полгода (я учусь в старшей школе, но очень быстро справляюсь с математикой), какие еще «типы» математики мне нужно изучить самостоятельно, прежде чем я смогу понять элементарные квантовая физика математически?
Квантовая механика «живет» в гильбертовом пространстве, а гильбертово пространство — это «всего лишь» бесконечномерное векторное пространство, так что векторы на самом деле являются функциями. Тогда математика квантовой механики — это в значительной степени «всего лишь» линейные операторы в гильбертовом пространстве.
Квантовая механика Линейная алгебра ------------------ ----------------------------- вектор волновой функции матрица линейного оператора собственные состояния физическая система гильбертово пространство физическая наблюдаемая эрмитова матрица
Ну, учи линейную алгебру. Расширенный текст (по линейной алгебре над «полевыми» системами счисления) — это конспекты лекций [html] из Калифорнийского университета в Дэвисе.
Как только вы это сделаете, вы должны изучить дифференциальные уравнения. Или, если вы хотите пропустить вперед, возможно, анализ Фурье. Бесплатным справочником будут мои заметки [pdf]. Он слегка ориентирован на физику, но связывает идеи с линейной алгеброй.
Квантовая механика, если свести ее к минимуму, — это анализ Фурье. (Вместо «частотной области» у вас есть «импульсное пространство» и т. д.)
Что ж, если вы хотите получить какое-то количественное представление о QM, вам также придется заняться исчислением - в основном, дифференциальными уравнениями, и, если вы действительно настаиваете, также анализом Фурье. В старшей школе меня учили приличной базовой математике, так что вы, возможно, уже знаете некоторые основы.
Я предлагаю получить подержанную копию Zetteli . Глава 2 представляет собой обзор математических инструментов КМ, а в самом начале главы 3 приводятся постулаты КМ.
Это покажет вам необходимую математику, и вы сможете обратиться к другим книгам за более подробными объяснениями частей, которые вызывают у вас затруднения.
Матрицы и векторы важны, потому что они очень хорошо соответствуют математике QM, и поэтому они формируют основной язык, на котором выражается QM. Продолжая изучать линейную алгебру, вы узнаете о собственных векторах и собственных значениях. Они используются для описания процесса измерения, который важен для QM.
Первым важным шагом будет исчисление. На самом деле только знакомлюсь с интегрированием и дифференцированием по всем типам функций. Оттуда небольшое знание дифференциальных уравнений может иметь большое значение. Зная только это, вы можете решить некоторые основные проблемы. «Ранние трансценденталии» Томаса — хорошая книга по математическому анализу. Кроме того, есть несколько хороших книг по математической физике, которые охватывают множество различных предметов от линейной алгебры до комплексного анализа. Мне не особенно нравится эта книга, но я ею пользуюсь, "Математические методы в физических науках" Мэри Боас.
Квадратные симметричные матрицы (или, скорее, сложные эрмитовы матрицы) представляют собой наблюдаемые квантово-механической системы. Их собственные значения представляют собой возможные наблюдаемые значения в идеальных экспериментах. Имеется базис ортонормированных собственных значений, позволяющий записать любой вектор состояния в виде линейной комбинации (суперпозиции) базисных векторов. Квадрат абсолютных значений внутренних продуктов определяет вероятности. Затем нужны функции матриц, в частности матричная экспонента, дающая динамику системы, и явное решение уравнения Шредингера в случае n-уровневой системы.
Таким образом, вам нужно знать достаточно, чтобы хорошо разбираться в следующих понятиях: матрица, транспонирование, сопряженное транспонирование, линейная комбинация, базис, собственное значение, собственный вектор, внутренний продукт, матричный степенной ряд, матричный экспоненциал. В Википедии есть хорошие обобщающие статьи по каждой из этих тем, которые помогут вам составить общее представление. Вы можете пропустить другие вещи и вернуться к ним, если они вам понадобятся.
В анализе вам понадобятся системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (они связаны с матричной экспонентой) и преобразование Фурье. Последнее предполагает интеграцию в 3-х измерениях, но опять же, вы можете многое пропустить и вернуться к пропущенным вещам, когда они вам понадобятся.
Затем вы можете просмотреть различные квантово-механические тексты или конспекты лекций, например, мою онлайн-книгу http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 — первая глава должна быть понятна даже с небольшими предварительными знаниями, если вы можете ориентировочно принимать концепции без полного понимания. Мой FAQ http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html также может быть полезен. Читая их и отмечая, где вы теряете след, вы можете узнать, какие еще концепции вам нужны, чтобы понять смысл вашего чтения. Это скажет вам, что еще вам нужно узнать. В конечном счете, почти вся линейная алгебра и анализ полезны в квантовой механике, но что и когда зависит от того, что вас интересует.
Есть хорошая книга, предназначенная для одаренных старшеклассников, написанная Томасом Джорданом из Миннесотского университета в Дулуте. Называется «Квантовая механика в простой матричной форме» и представляет собой краткое введение в комплексные числа, линейные операторы и квантовую механику. Я полагаю, что автор использовал его для проведения летней школы для старшеклассников и университетского курса QM для специалистов по гуманитарным наукам; это неплохое место для начала для тех, кто находится на уровне OP (средняя школа).
Gravity_CK
саван кт