Локальный характер поверхностной плотности заряда

Граница С полости в очень большом (идеальном) проводнике есть связная компактная (гладкая) поверхность. Положительный точечный заряд + д помещается внутрь этой полости. Из закона Гаусса мы знаем, что полный индуцированный заряд на поверхности С является − д . Однако плотность поверхностного заряда на С необходимой локально отрицательной (в каждой точке С )? Как доказать (или опровергнуть) это утверждение?

Я ищу точный, веский аргумент, а не ответы типа размахивания руками.

Ответы (1)

Предположим противное, предположим, что существует точка, в которой локальная плотность заряда положительна, скажем, точка А.

Теперь по закону Гаусса общий заряд на внутренней поверхности отрицательный. Поэтому должна существовать точка B, в которой локальная плотность заряда отрицательна (иначе суммарный заряд будет положительным).введите описание изображения здесь

Теперь рассмотрим линию поля из точки А. Она будет исходить из проводника и может иметь две возможности:

1) Соответствует заданному заряду: невозможно, так как данный заряд положительный.

2) Встречается в какой-то точке проводника.

Поскольку первый случай невозможен, мы должны принять второй. Синяя кривая — это линия поля.

Теперь рассмотрим ∮ Е → ⋅ д → Икс над цветной петлей (синей и оранжевой), как показано на рисунке. Мы можем разделить этот интеграл на две части:

1) от A до B внутри проводника (синяя кривая): поскольку это линия поля (согласно второму варианту), интеграл представляет собой некоторое ненулевое действительное число .

2) B к A внутри проводника (оранжевая кривая): поскольку поле равно нулю, интеграл равен нулю.

Итак, наконец, у нас есть

∮ Е → ⋅ д → Икс "=" ненулевое действительное число

что на первый взгляд противоречит тому факту, что поле E консервативно. Противоречие. Сделанный!

Кратко и ярко! Важно подчеркнуть, что полость ограничена (отсюда предположение о компактной поверхности), иначе силовая линия могла бы уйти в бесконечность.
Локальный характер поверхностной плотности заряда
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v