Какие учебники лучше всего читать для изучения математики, необходимой для современной физики, например, по теории струн?
Некоторые темы с макушки моей головы, которые, вероятно, нуждаются в освещении:
Последней книгой, которую я прочитал на тему «Основы математики для физиков», была «Математика для физики» Стоуна и Голдбарта, и она мне очень понравилась. (С тех пор я, как правило, попадал в книги по чистой математике, но это совсем другая история).
Более того, версия книги доступна онлайн на веб-странице Пола Голдбарта. *Если указанный выше URL не работает; попробуйте этот: http://goldbart.gatech.edu/PG_MS_MfP.htm *
Вот список тем:
* Calculus of Variations
* Function Spaces
* Linear Ordinary Differential Equations
* Linear Differential Operators
* Green Functions
* Partial Differential Equations
* The Mathematics of Real Waves
* Special Functions
* Integral Equations
* Vectors and Tensors
* Differential Calculus on Manifolds
* Integration on Manifolds
* An Introduction to Differential Topology
* Groups and Group Representations
* Lie Groups
* The Geometry of Fibre Bundles
* Complex Analysis I
* Complex Analysis II
* Special Functions and Complex Variables
o Appendix A: Linear Algebra Review
o Appendix B: Fourier Series and Integrals
Лекционные заметки Шона Кэрролла по общей теории относительности содержат превосходное введение в математику ОТО (дифференциальная геометрия на римановых многообразиях). Они также опубликованы в измененной форме в его книге «Пространство-время и геометрия».
« Исчисление многообразий » Спивака — жемчужина.
« Тензорный анализ многообразий » Бишопа — отличное введение в предмет, опубликованное Dover, очень дешевое (менее 10 долларов на Amazon).
Книга Джорджи « Алгебры лжи в физике частиц » приятна и динамична, но, вероятно, слишком много пропускает, чтобы ее можно было использовать в качестве адекватного первого знакомства.
Геометрические методы математической физики Шютца и первый курс общей теории относительности .
Несмотря на невероятно напыщенное название, книга Пенроуза « Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной» представляет собой увлекательный высокоуровневый обзор огромного пространства математической физики.
Как упомянул Седрик, я большой поклонник Sussman and Wisdom «Структура и интерпретация классической механики» и связанных с ними меморандумов по функционально-дифференциальной геометрии. Цитаты в этих публикациях также укажут на множество хороших материалов, и если вы покопаетесь в исходном коде, вы найдете больше полезностей.
Для общего подхода к математике, используемой как в классической, так и в квантовой физике, одна из моих любимых книг:
-"Математика классической и квантовой физики", Байрон и Фуллер.
С более геометрической стороны, помимо уже упомянутых книг, вы можете попробовать:
-"Геометрия физики. Введение", Теодор Франкель.
И, в качестве общей ссылки, обычный текст - это «Математические методы для физиков» Арфкена.
Но, ИМХО, если вы хотите досконально разобраться в математических инструментах физики, вам следует использовать «Методы теоретической физики» Морса и Фешбаха. Это старая книга, но необходимая, если вы хотите понять классическую электродинамику Джексона или квантовую механику Мессии.
Я нашел «Математические методы в физических науках » Мэри Боас очень хорошей обширной книгой, охватывающей основы. Очевидно, вам понадобятся другие книги, но если вы ищете одну книгу для основательного обзора основ, эта книга превосходна.
Вот названия глав:
Я также поддерживаю книгу Роджера Пенроуза «Дорога к реальности» как хорошую книгу с широким математическим охватом и более теоретическим уклоном.
Хороший вопрос. Я мало что знаю ни о дифференциальной геометрии, ни об алгебраической топологии, но, немного изучив группы, я думаю, что могу дать некоторые ссылки на группы Ли. Итак, вот книги, которые мне пригодились
Самельсон, «Заметки об алгебрах Ли», написанные в стиле « Определение, теорема, доказательство », поэтому их немного сложно понять (рекомендую многократно перечитывать), но они дают хороший обзор структуры, классификации (системы корней и диаграммы Дынкина) и представлений (наивысший вес теория) алгебр Ли.
Хамфрис, «Введение в алгебры Ли и теорию представлений» , менее насыщенный теоремами и более многословный, чем Самельсон , и содержит огромное количество замечательных упражнений.
Фултон, Харрис, Теория представлений Первый курс обсуждает более или менее все, что физику необходимо знать о группах (также упоминаются некоторые конечные группы). В ней отсутствует подход, основанный на систематических теоремах, как в двух вышеперечисленных книгах, но она может похвастаться отличными объяснениями и красивыми картинками. Я бы предложил это как хорошее первое чтение о группах, если бы не его длина.
Гудман, Уоллах, Представления и инварианты классических групп — это полная библия о группах. Авторы используют алгебро-геометрический подход к группам Ли (вместо обычного дифференциально-геометрического), что затрудняет чтение книги обычным физиком. Но помимо этого в книге подробно рассматривается множество конкретных представлений (например, тензорные представления и связь с симметрической группой; это часто опускается в других местах), подробно обсуждается теория наибольшего веса, дается хорошее введение в спиноры, а также упоминается правила ветвления. И многое другое. Определенно рекомендуется.
Одна довольно математическая, но классическая книга о римановых многообразиях называется «Полуриманова геометрия» О'Нила .
Некоторые доступные заметки по алгебре Ли доступны здесь .
Моя любимая книга об алгебраической/дифференциальной топологии: « От исчисления к когомологиям» . Эта книга чрезвычайно доступна, и для ее полного понимания требуются только многомерное исчисление и линейная алгебра. Я не могу рекомендовать это достаточно, особенно для физики.
Также я третья Дорога к Реальности. Очень весёлая/интересная книга!
Какая завораживающе необычная книга! Дифференциальная геометрия объясняется как компьютерные алгоритмы.
Лучшая книга по математике, которую я когда-либо читал с точки зрения ее полезности для физики, это
Это абсолютная жемчужина. Он проведет вас через линейную алгебру и дифференциальные формы, начиная с нуля, при условии, что вы знаете только алгебру и исчисление. Доказательства законны, а в некоторых случаях действительно креативны. Самое приятное то, что он предназначен для людей, которые хотят использовать математику в приложениях. Экстремация функций на многообразиях разработана очень хорошо, и авторы дают полезную информацию о том, как подойти к аналитическим темам, представленным в книге, численно. Действительно полезные вещи, такие как поиск ряда Тейлора для неявных функций, сделаны хорошо. Я действительно не могу дать этой книге достаточно одобрения.
После того, как я прочитал это, я прочитал
Эта книга делает интеграцию дифференциальных форм формально. Тем не менее, это удивительно читаемо, и я не нашел ни одной ошибки во всей книге. Это было отличное чтение и укрепило мое понимание, но не имело прямого отношения к физике.
Потом позже я прочитал
который является отличным введением в изогнутые коллекторы. Это хорошо, потому что он четко объясняет разницу между векторами и ко-векторами ("вверх" и "вниз" индексы) и соотносит все это с реальной жизнью (т.е. с физикой).
Область операторных алгебр тесно связана с квантовой теорией и, безусловно, является необходимым требованием для изучения многих литератур по современной физике. Я перечисляю некоторые книги, связанные с операторными алгебрами и физикой, следующим образом:
С. Аттал, А. Джой, К.А. Пиллет, редакторы, Открытые квантовые системы 1, гамильтонов подход. Спрингер, Конспект лекций по математике, т. 1880 г. (2006 г.).
Б. Блэкадар, Операторные алгебры. Спрингер, Энциклопедия математических наук, том. 122, (2006).
О. Браттели, Д. В. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1, - а также -алгебры, группы симметрии, разложение состояний. Спрингер, Тексты и монографии по физике, 2-е издание, 2-е издание (2002 г.).
Конн А., Некоммутативная геометрия. Академическая пресса, Inc. (1994).
Гарсия-Бондиа, Дж. М., Варилли, Дж. К., Фигероа, Х., Элементы некоммутативной геометрии. Расширенные тексты Биркхаузера, Биркхаузер, (2000).
Н. П. Ландсман, Математические вопросы между классической и квантовой механикой. Спрингер, Монографии по математике (1998).
М. Такесаки, Теория операторных алгебр I, II, II. Спрингер, Энциклопедия математических наук, том. 124, (2002).
Н. Уивер, Математическое квантование. Исследования по высшей математике, Чепмен и Холл/CRC, (2001).
В дополнение к вышеупомянутым книгам, для более полного списка общих ссылок на -алгебры и операторные алгебры, а также для легкого чтения для начинающих см. мои конспекты лекций по -алгебры здесь.
Вы просите книгу вводного уровня или более продвинутую книгу для кого-то, кто уже имеет некоторый опыт в этих темах?
Для начального уровня я использую Schutz и Spivak, рекомендованные выше. На мой взгляд, Пенроуз и Франкель подходят только в том случае, если вы уже прошли вводный курс по этим предметам. Введение Франкеля в многообразия очень сжато, и Пенроуз действительно дает представление с высоты птичьего полета, пропуская многие детали, которые понадобятся новичкам для построения базовой интуиции.
Лучшие вводные заметки, которые я встречал для коллекторов, используемых в GR, принадлежат Дэвиду Маламенту, которые вы можете скачать здесь .
«Современная математическая физика» Питера Секереса — лучшая книга по основам математической физики, которую я нашел. Это очень ясно и передает глубокое понимание с первого прочтения.
Здесь есть предварительный просмотр Amazon: http://www.amazon.com/Course-Modern-Mathematical-Physics-Differential/dp/0521829607
Названия глав:
Наборы и структуры
Группы
Векторные пространства
Линейные операторы и матрицы
Внутренние пространства продукта
Алгебры
Тензоры
Внешняя алгебра
Специальная теория относительности
Топология
Теория меры и интеграция
Распределения (преобразования Фурье, функции Грина)
Гильбертовы пространства
Квантовая механика
Дифференциальная геометрия
Дифференцируемые формы
Интеграция на коллекторах
Соединения и кривизна
Группы Ли и алгебра Ли
Этот ответ содержит некоторые дополнительные ресурсы, которые могут быть полезны. Обратите внимание, что ответы, которые просто перечисляют ресурсы, но не содержат подробностей, настоятельно не рекомендуются политикой сайта в отношении вопросов о рекомендациях ресурсов . Этот ответ оставлен здесь, чтобы содержать дополнительные ссылки, которые еще не имеют комментариев.
Книга Ли « Введение в гладкие многообразия » очень хороша и затрагивает тему в неторопливой и мотивированной манере. Насколько я помню, это не связано естественным образом с физикой.
Книга «Калибровочные поля, узлы и гравитация » Баеза и Муниана также очень удобочитаема и описывает теорию расслоений и дифференциальных форм в физике в простой и понятной форме. Одна замечательная черта книги состоит в том, что упражнения являются именно упражнениями, то есть они учат тому, как понимать материал.
Более строгим аналогом этого материала являются первые сто страниц книги Михора «Естественные операции в дифференциальной геометрии », эта обработка отличается высокой математикой и очень строгостью.
Что касается алгебраической топологии, опять же хорошим началом является книга Ли «Введение в топологические многообразия », а затем для более продвинутой теории — книга Ботта и Ту « Дифференциальные формы в алгебраической топологии » .
Пьер Половодов