Теория чисел в физике [закрыто]

Я не уверен, что смогу опубликовать все ссылки, которые хотел бы (еще недостаточно «очков репутации»), но я постараюсь указать на основных известных мне рефералов.

У Матильды Марколли есть хорошая статья под названием « Теория чисел в физике », объясняющая несколько мест в физике, где проявляется теория чисел.

[Кстати, есть статья Кристофера Денингера, озаглавленная « Некоторые аналогии между теорией чисел и динамическими системами в расслоенных пространствах », которая может открыть некоторые окна в этой теме: в конце концов, Локальные системы лежат в основе большей части современной физики (связные формулировки, так далее).]

Есть веб-сайт под названием « Архив теории чисел и физики », который содержит обширную коллекцию ссылок на работы в этом интерфейсе.

Сэр Майкл Атья только что выступил (на прошлой неделе) на инаугурационной конференции Саймонс-центра, рассказав о недавнем взаимодействии между физикой и математикой . И завершил свою речь рассуждениями о связи между квантовой гравитацией и гипотезой Римана. Он должен был выступить с докладом в ИАС на эту последнюю тему, но его отменили.

В завершение позвольте мне представить двойственность Ленглендса : она связана с модульными формами и, например, с теорией чисел. (Версия Кавалера: думайте об интеграле по траекториям КТП как о симметрии Мёбиуса по отношению к константам связи в лагранжиане.)

Учитывая это, я думаю, что лучший способ увидеть связь между теорией чисел и физикой — это взглянуть на проблему физики по-другому: подумайте о критических точках в Потенциале и о том, что они означают в фазовом пространстве (гамильтоновское уравнение). и/или геодезический поток: Якоби преобразовал одно в другое; подумайте о полях Якоби в дифференциальной геометрии), подумайте о том, как это проявляется в КТП, подумайте о пространствах модулей и их связи с вышеизложенным. Вот как я рассматриваю этот фреймворк... ;-)

Полуглупая идея, о которой я читал, — это газ Примона , модель, в которой дзета-функция Римана возникает как статистическая сумма квантово-статистической механической системы.

А если серьезно, взгляните на статьи Юрия Манина и Матильды Марколли о hep-th arxiv , в которых делается попытка связать голографический принцип с арифметической геометрией. Я думаю, что есть большая надежда, что методы в физике, вдохновленные квантовой теорией поля и теорией струн, могут найти применение в различных разделах математики, включая теорию чисел (для такого рода вещей я не могу сделать ничего лучше, чем указать вам на работы Джона Баэза ) - я не так осведомлен о приложениях теории чисел к той физике, которую можно проверить экспериментально (хотя я хотел бы, чтобы меня поправили).

Один несвязанный пример — Фримен Дайсон сделал расплывчатые предположения о квазикристаллах и гипотезе Римана, вы можете прочитать об этом вместе с некоторыми занимательными историями в этой статье .

На www.msri.org/ext/Emissary/EmissarySpring02.pdf есть фантастическая статья о связи между гипотезой Римана и «квантовым хаосом» (начало на странице 1, продолжение на странице 12).

Вот выдержка (напомним, что гипотеза Монтгомери — это гипотеза об ожидаемом количестве нулей дзета-функции Римана, следующих за нулем в интервале определенной длины):

Монтгомери был ошеломлен, обнаружив, что Дайсон очень хорошо знал довольно сложную функцию, фигурирующую в гипотезе Монтгомери, и даже знал ее в контексте сравнения разрывов между точками со средним разрывом. Однако вот что удивительно: Дайсон знал эту функцию не из теории чисел, а из квантовой механики. Именно эту функцию обнаружил сам Дайсон десятью годами ранее при моделировании уровней энергии в сложных динамических системах с точки зрения квантовой физики. Сейчас считается, что одна и та же статистика описывает энергетические уровни хаотических систем; другими словами, квантовый хаос!

В статье также описаны некоторые другие удивительные связи между различными дзета-функциями и энергетическими уровнями других видов хаотических систем. Вместо того, чтобы копировать их сюда (не могу резюмировать, так как сам плохо в этом разбираюсь), я просто закончу цитатой из статьи:

Таким образом, более интуитивное развитие квантового хаоса позволяет делать более плодотворные предсказания о распределении простых чисел (и не только). С другой стороны, более осторожное развитие теории простых чисел приводит к более точным предсказаниям квантового хаоса.

Я не знал об этом до самого недавнего времени, когда я случайно прочитал эту статью о выражениях Рамануджана для модулярных форм (которые представляют собой форму голоморфных функций, которые оставляют инвариантными определенные решетки и широко изучаются для их теоретико-числовых приложений). По-видимому, существует что-то под названием «модульные черные дыры», о чем я не имею ни малейшего представления, но в нем упоминается, что они термодинамически близки к обычным черным дырам, поэтому их можно использовать для вычисления определенных функций скремблирования горизонта событий. степени свободы

Я бы предпочел, чтобы кто-то предоставил авторитетный ответ с более подробной информацией об этом, поскольку мои бессвязные фразы более или менее извлечены из статьи без изменений. Я надеюсь, что кто-то, кто действительно разбирается в этом, будет достаточно раздражен моим ответом и предоставит реальный ответ.

Я здесь на тонком льду, но я знаю, что люди в теории чисел изучают модульные формы, и это связано со статистическими суммами, например, конформной теории поля.

Двухтомник « Границы в теории чисел, физике и геометрии » под редакцией Картье и др. представляет собой большой сборник статей.

Еще я бы посоветовал заглянуть на эту страницу (семинар «Теория чисел и физика на перекрестке», проходивший в Банфе) — в нижней половине страницы перечислены многие области, в которых физика и теория чисел процветают вместе.

существует гипотеза, так называемая ГИПОТЕЗА РИМАНА, которая имеет глубокую связь между корнями дзета-функции Римана и собственными значениями гамильтониана.

http://arxiv.org/abs/1101.3116

http://findarticles.com/p/articles/mi_m1200/is_7_174/ai_n30887057/

и моя скромная статья на эту тему http://vixra.org/pdf/1007.0005v8.pdf на самом деле ГИПОТЕЗА РИМАНА заключается в том, чтобы использовать WKB для нахождения гамильтониана, собственные значения которого являются квадратом нулей Римана (мнимая часть) и его ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ ДЕТЕРМИНАНТ - это просто кси-функция Римана.