Магнитные монополи в теории поля

Вы не можете просто добавить член к лагранжиану, чтобы придать обычной электромагнитной калибровочной теории магнитный заряд. Причина довольно проста: уравнение движения магнитного четырехтока$j_m$является$\mathrm{d}F = j_m$. Но$\mathrm{d} F = \mathrm{d}\mathrm{d} A = 0$ независимо от уравнений движения . Поэтому простое добавление термина не работает.

Первый выход — рассматривать монополи как топологические объекты, расположение которых удалено от пространства-времени, на котором рассматривается калибровочная теория (или «где калибровочное поле сингулярно»). Как это приводит, например, к струне Дирака и квантованию заряда, я описываю в этом моем ответе . К лагранжиану не добавляется член, появление монополя носит чисто топологический характер, и$\mathrm{d}F = 0$везде, где это определено.

Другой выход — ввести явно электромагнитный дуальный лагранжиан с электрическим четырехпотенциалом.$A$и магнитный четырехпотенциал$B$к сожалению с неканоническим выбором пространственноподобного четырехвектора$n$где сейчас лагранжиан

$$\begin{align} L = \frac{1}{2n^2} & \left( - \mathrm{d}A(n) \cdot {\star}\mathrm{d}B(n) + \mathrm{d} B(n) \cdot \mathrm{d}{\star}A(n) - \mathrm{d}A(n)\cdot{\star}\mathrm{d}A(n) - \mathrm{d}B(n)\cdot {\star}\mathrm{d}B(n)\right) \\ & - A\cdot j_e - B\cdot j_m \end{align}$$ где $j_e,j_m$электрические/магнитные токи, $X(n)$обозначает сокращение формы $X$с вектором $n$в своем первом слоте/индексе, и все $\cdots$являются обычными скалярными произведениями Минковского (ко)векторов. Напряженность поля теперь определяется несколькими эквивалентными формулами, одна из них $F = \mathrm{d}A - (n\cdot\partial)^{-1} ({\star} n\wedge j_m)$, где выражение $(n\cdot\partial)^{-1}$интегральный оператор, ядром которого является функция Грина $(n\cdot \partial) f = 0$(по крайней мере, для согласованности это исходная напряженность поля $\mathrm{d}A$для $j_m = 0$!). Это решение (которое я, возможно, вырезал, переведя в свои обозначения) принадлежит Цванцигеру в Local-Lagrangian Quantum Field Theory of Electric and Magnetic Charges .

Третий способ состоит в том , чтобы постулировать, что электромагнитное$\mathrm{U}(1)$происходит от разрыва$\mathrm{SU}(2)$через хиггсовский механизм, то нет монополей Хофта-Полякова , дальнее поле которых выглядит как магнитный монополь для неразрывного$\mathrm{U}(1)$но который не требует удаления положения монополя (поскольку фактически он не находится в точке, поле всюду несингулярно). Это, однако, вносит дальнейшие модификации в теорию, потому что теперь у вас есть дополнительно массивные бозоны с нарушенной симметрией.