Нарушает ли магнитный монополь
калибровочная симметрия? В каком смысле и почему?
Насколько мне известно, существует как минимум два типа магнитных монополей. Один из них — монополь Дирака, а другой — монополь в теориях Великого объединения (ТВО), например, монополь 'т Хоофта-Полякова.
В последнем случае некоторая неабелева калибровочная теория распадается на (компактную)
Калибровочная теория, в которой монополи можно наблюдать с большого расстояния. Монопольное поле не из
степеней свободы и нет ничего единственного.
Напротив, монополь Дирака сингулярен (топологический дефект?), и мы должны ввести струну Дирака или участки векторного потенциала
. Являются ли они не более чем артефактами, возникающими при попытке описать монопольное поле внутри
калибровочная теория, предполагая
? Это кажется верным, поскольку два уравнения Максвелла, на которые может влиять магнитный монополь, можно представить в дифференциальной форме
а также
в пространстве-времени Минковского, из которого
калибровочная инвариантность проявляется для
.
Однако позже я заметил две основополагающие статьи о монополи Дирака http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.12.3845 & http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(76)90143-7 , авторы которого утверждали следующее
Я понятия не имею о пучке волокон. Во всяком случае, я думаю теория не обязательно исключает монополии Дирака. Это как-то связано с топологией некоторого многообразия в теории? Какой коллектор? Кто-нибудь может пролить свет на этот интригующий вопрос? Заранее спасибо.
Нет, магнитный монополь в стиле струны Дирака не «нарушает» калибровочную симметрию. Скорее утверждение «у нас есть магнитный монополь» означает лишь то, что мы вынуждены рассматривать калибровочную теорию не на всем пространстве-времени, а на пространстве-времени с удаленным расположением магнитного монополя. Почему? Поскольку в месте расположения магнитного монополя дивергенция магнитного поля не обращается в нуль (у него там есть источник/сток!), отсюда и уравнение, позволяющее определить калибровочное поле, а именно , не выполняется.
Однако она верна везде, поэтому мы рассматриваем калибровочную теорию пространства с удаленной одной точкой. Но гомотопически эквивалентна сфере , что топологически нетривиально — вы не можете сжать сферу или плавно до точки, потому что монополь «мешает». Это не настоящий дефект пространства-времени, а просто следствие того, что мы «спасаем» калибровочное описание, хотя монополь запрещает нам делать это глобально. Это дефект калибровочной теории .
Локальное описание на сфере проще всего получить, просто взяв два локальных калибровочных поля, определенных на полусфере, перекрывающихся на экваторе, и мы получим глобально согласованное решение, задав калибровочное преобразование на перекрытии, которое склеит локальные решения вместе 1 , что является просто круг - опять таки. Итак, мы должны дать гладкую карту из круга в себя. Такие карты просто даются наматыванием круга раз вокруг себя, если вы пишете , то функция перехода . Эта функция перехода полностью характеризует расслоение, поэтому теперь различные структуры расслоения, которые могут возникнуть. просто характеризует монополь как имеющий магнитный заряд .
Итак, «струна Дирака» — это просто артефакт, возникающий, когда мы пытаемся вытеснить глобальное решение из локальных. Если вы возьмете решение для одного из полушарий и расширите его настолько далеко, насколько сможете, вы обнаружите, что можете распространить его на все, кроме противоположного полюса. Если мы «обратно превратим» сферу в , то полюс (как и все точки) превращается в луч, начинающийся в месте монополя. На этом луче, соответствующем полюсу, решение не определено — это знаменитая струна Дирака. Но напомним, что у нас было другое локальное решение — если их снова склеить (или переключаться между ними по мере необходимости), мы получим описание всего , и струна Дирака исчезает. Квантование как ибо магнитный заряд возникает из-за того, что этот артефакт должен быть необнаружимым в локальных растворах и, следовательно, не должен вызывать физических последствий, и только для этих магнитных зарядов эффект Ааронова-Бома от такого луча исчезает.
Склейка локальных решений на самом деле является конструкцией главного расслоения без явного упоминания так называемой конструкции расслоения по коциклам . Если у нас есть глобальное решение, то нам не нужна склейка, и мы выбираем , что соответствует тривиальному расслоению и отсутствию магнитного монополя, поскольку тогда решение, в принципе, распространяется на все и мы устроили целую чушь ни о чем.
1 Технически склейка работает следующим образом — выполните преобразование склейки и два локальных решения и установить . Вернее, посмотрите на свои локальные решения и найдите чтобы это работало.
Робин Экман
ДжамалС