Как изменится лагранжиан ЭМ СР, если мы найдем магнитный заряд?

В отсутствие магнитных монополей уравнения Максвелла имеют вид

$$\begin{align} \text d F &= 0 ,\\ \text d{\star F} &= J_e , \end{align}$$

куда$J$представляет собой 4-точную 3-форму из-за электрических зарядов (при условии, что метрика с сигнатурой$(-,+,+,+)$). По когомологическим соображениям из первого уравнения можно утверждать, что существует 1-форма$A$такой, что$F = \text d A$, а также$A$интерпретируется как 4-потенциал$(\phi,\mathbf A)$(с точностью до музыкального изоморфизма между касательным и кокасательным расслоением к пространству-времени Минковского). В присутствии магнитных монополей (или заряда, если даже выразить симметрию терминологии) приведенные выше уравнения станут

$$\begin{align} \text d F &= J_m ,\\ \text d{\star F} &= J_e , \end{align}$$

куда$J_m$есть 4-ток для магнитных зарядов. Поэтому в этой расширенной теории электродинамики как тензор Фарадея,$F$и его двойственный по Ходжу$\star F$(иногда также обозначается$G$) фигура в определяющих уравнениях.

С$F$больше не является закрытой формой, ее выражение должно быть изменено введением неточной части, скажем$C$, чтобы

$$F = \text d A + C.$$

Так как уравнения симметричны относительно$F$а также$\star F$мы можем постулировать, что существуют 1-формы$B$а также$D$такой, что

$$\star F = \text d B + D,$$

и предположим, что$C$зависит от$B$, пока$D$зависит от$A$. Но с тех пор$\star\star = -1$в специальной теории относительности мы заключаем, что

$$F = \text dA - \star\text dB,$$

что можно связать с разложением Гельмгольца на полярную и аксиальную части для дважды дифференцируемых векторных полей.

Сила Лоренца для частицы с электрическим зарядом$q_e$и магнитный заряд$q_m$было бы

$$K = \iota_u(q_e F + q_m G),$$ куда $u$- вектор 4-скорости частицы и $\iota$обозначает интерьерный продукт. Затем дополнительный член можно воспроизвести с помощью лагранжиана, содержащего дополнительный член $B_\mu u^\mu$.

---

Чтобы соприкоснуться с обычной векторной записью, заметим, что тензор Фарадея имеет ковариантное матричное представление

$$F = \begin{bmatrix}0&-~\mathbf E^T\\\mathbf E&\star\mathbf H\end{bmatrix}$$ куда $\star\mathbf H$является дуальным по Ходжем магнитного поля $\mathbf H$, и может рассматриваться как линейная карта $(\star\mathbf H)\mathbf v = \mathbf v\times\mathbf H$для любого $\mathbf v\in\mathbb R^3$. Кососимметричные тензоры, подобные приведенным выше, затем представляются полярным вектором $\mathbf E$и осевой вектор $\mathbf H$, и может быть обозначен как $F=(\mathbf E,\mathbf H)$. Определив это обозначение, действие двойственного по Ходжем тогда $\star(\mathbf E,\mathbf H) = (\mathbf H,-\mathbf E)$(вплоть до знака, который я не могу вспомнить). Внешняя производная 4-тока $A$является тензором указанного выше вида, и оказывается, что $$\text dA = \left(\nabla A^0+\frac{\partial\mathbf A}{\partial t},\nabla\times\mathbf A\right),$$ где первая составляющая — полярная часть, а вторая — осевая часть. Следовательно, без магнитных зарядов мы восстанавливаем электрические и магнитные поля. Теперь о дополнительных возможностях $B=(B^0,\mathbf B)$мы имеем, используя правило для двойственного Ходжа, обсуждавшееся несколькими строками выше, $$\star\text dB = \left(\nabla\times\mathbf B, - \nabla B^0 - \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right)$$ Примечание здесь$\mathbf B$дополнительный векторный потенциал, не путать с магнитной индукцией.

Восстановление тензора Фарадея по рецепту$F=\text dA - \star\text dB$приведенное выше, мы тогда имеем, с точки зрения полярных и осевых частей

$$F = \left(\nabla A^0 + \frac{\partial\mathbf A}{\partial t} - \nabla\times\mathbf B, \nabla\times\mathbf A + \nabla B^0+\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right),$$ откуда $$\mathbf E = \nabla A^0 + \frac{\partial\mathbf A}{\partial t} - \nabla\times\mathbf B$$ а также $$\mathbf H = \nabla\times\mathbf A + \nabla B^0 + \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}.$$