Почему некоторые члены градиента скалярного произведения между скоростью и магнитным векторным потенциалом исчезают?

Вы игнорируете тот факт, что работаете в$2N+1$размерное фазовое пространство$\{\boldsymbol q, \boldsymbol {\dot q}, t\}$. Только вдоль геометрического места точек в этом фазовом пространстве, удовлетворяющих уравнениям Эйлера-Лагранжа,$\boldsymbol {\dot q}$действительно является производной по времени от$\boldsymbol q$. Пока вы не придете к этому решению, вы должны лечить$\frac{\partial \dot q_j}{\partial q_i}$и$\frac{\partial q_j}{\partial \dot q_i}$как тождественно равный нулю. Это значит, что

Другой способ взглянуть на это: использование$\partial/\partial q_i$и$\partial/\partial \dot q_i$является злоупотреблением обозначениями в этом контексте (и, что еще хуже, использованием$\nabla$), потому что обобщенная скорость обычно изменяется с обобщенным положением вдоль решения уравнений Эйлера-Лагранжа. Другими словами,$\nabla v$не тождественно равен нулю. Как и в случае с другими математическими злоупотреблениями обозначениями, это обозначение может быть очень удобным, но у вас могут возникнуть проблемы, если вы не осознаете, что это злоупотребление обозначениями.