Максимальная скорость ракеты с потенциалом релятивистских скоростей

Возьмем ракету для старта с начальной массой$M_{0}$и выбрасывать массу со скоростью$\frac{dm}{dt}$, так через время$t$, он выбросил общую массу$m$. Кроме того, пусть скорость выброса определяется выражением$v_{e}$для простоты. Тогда, используя формулу для релятивистского импульса, мы имеем импульс, полученный ракетой, равный импульсу выброшенного ракетного топлива (мы также предполагаем, что ракета стартует из состояния покоя):

$$\begin{align*} \frac{dm}{dt}v_{e} &=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)\\ m\,v_{e} &=\frac{(M_{0}-m)v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\\ \frac{m^{2}v_{e}^{2}}{(M_{0}-m)^{2}}&= \frac{v^{2}}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}} \end{align*}$$

После некоторой алгебры вы получите окончательный результат,

$$v=\frac{v_{e}}{\sqrt{\left(\frac{M_{0}-m}{m}\right)^2+\left(\frac{v_{e}}{c}\right)^{2}}}$$

Конечная скорость ракеты тогда будет дана как функция массы$M_{0}-m$самой ракеты, масса$m$выброшенного топлива, а скорость$v_{e}$при котором топливо было выброшено. Поэтому правильный ответ однозначно все, кроме длины ракеты.

Примем начальную массу ракеты равной$M$и суммарное количество выброшенного топлива должно быть$m$, который будет взаимозаменяемо использоваться как динамическая переменная и как окончательный ответ. По единицам я буду использовать исключительно$\beta=v/c$для представления скоростей всех типов. Я намеренно избегаю использования времени в своих уравнениях. Суть проблемы в том, что скорость зависит от количества топлива, выброшенного до этого момента (и параметров задачи), поэтому я собираюсь найти решение для$\beta(m)$, то есть скорость корабля как функция массы, выброшенной до этого момента. Я собираюсь рассмотреть проблему в системе отсчета «покоя», которая более формально определяется инерциальной системой отсчета, для которой верно, что$v(0)=0$. Я буду использовать сокращение$\gamma$функция,$\gamma(\beta) = (1-\beta^2)^{-1/2}$.

Первая настоящая физика, которую я здесь проведу, — это анализ конкретной реакции. Я определяю конкретный момент времени, о котором говорю, как момент, когда движущаяся ракета имеет массу$M-m+dm$. Затем он выбрасывает$dm$на скорости$\beta_e$относительно себя в направлении, противоположном движению. Этот выброс увеличивает импульс ракеты на$dp$по мере изменения импульса выброшенной массы от$p_{dm}$к$p_{dm}'$на скорости$\beta$и$\beta_{dm}'$. Чтобы получить последнее, необходимо добавить релятивистскую скорость.

$$\beta_{dm}' = \frac{\beta-\beta_{e}}{1-\beta \beta_e}$$

Теперь записан баланс количества движения реакции.

$$dp = p_{dm} - p_{dm}' = dm \gamma(\beta) \beta - dm \gamma(\beta_{dm}') \beta_{dm}'$$ $$\frac{dp}{dm} = \gamma(\beta) \beta - \gamma(\beta_{dm}') \beta_{dm}' = \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} - \frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e} \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e}\right)^2}}$$

Теперь я надеюсь, что к этому моменту совершенно очевидно, что я делаю. Я пытаюсь сформулировать дифференциальное уравнение, где$m$является независимой переменной, и мы решаем для$\beta(m)$. Но нам все еще нужна левая часть этого уравнения. Чтобы найти это, мы должны продолжить думать о балансах указанного взаимодействия и найти изменение количества движения невыброшенной части ракеты,$dp$, после чего можно делать приближения. Импульс невыброшенной части ракеты равен$p$перед выбросом и$p'$после выброса.

$$dp = p' - p = (M-m) (\beta' \gamma(\beta') - \beta \gamma(\beta))$$ $$\beta'-\beta = d\beta << \beta_e$$ $$dp = (M-m) ((\beta+d\beta) \gamma(\beta+d\beta) - \beta \gamma(\beta))$$

расширение серии 2-го порядка о$d\beta=0$.

$$dp = (M-m) d\beta \gamma(\beta)^3$$

Кроме того, это можно найти путем дифференцирования. Причина, по которой простое дифференцирование настолько сложно, заключается в том, что вы должны определить, от чего вы берете производную. Чтобы не противоречить физике ситуации, мне пришлось ввести специальное$m''$переменная, которая является инвариантной формой$m$, хотя и имеют такое же значение. По сути,$m''$не влияет на потерю$dm$но$m$является. Начиная отсюда я должен начать писать$\beta$с точки зрения$\beta(m)$также, что является целью. Простите за внезапную смену обозначений. Вот расчетный подход к$dp$.

$$\beta = \beta(m)$$ $$\frac{dp}{dm} = \frac{d}{dm} \left( (M-m'') \beta(m) \gamma(\beta(m)) \right) = (M-m'') \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3$$

Любой подход дает необходимое выражение для следующего шага, который заключается в простом написании дифференциального уравнения, являющегося решением задачи. Простите за переключение обратно на подавление$m$опять же зависимость (так она укладывается в строчку), просто знайте, что это действительно$\beta(m)$и что$\beta_e$постоянно.

$$(M-m) \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3 = \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} - \frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e} \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e}\right)^2}}$$ $$\beta(0)=0$$

И мы закончили. Это ваш ответ. С$M$и$\beta_e$указанный вы можете найти$\beta(m)$это скорость ракеты как функция выбрасываемой массы, но помните, что$m<M$. Я приведу образец участка. Это показывает функцию$\beta$, что опять-таки является долей скорости света, с которой движется ракета.

$\beta_e=0.1$и$M=1$

Есть некоторые приближения, которые вы можете получить, конечно. Выполнение Тейлора 2-го порядка расширения RHS вышеприведенного дифференциального уравнения приведет к следующему решению.

$$\beta = tanh \left( \beta_e ln(\frac{M}{M-m}) \right)$$

А если еще упростить($tanh(x)=x$) вы получите классическую версию.

$$\beta = \beta_e ln(\frac{M}{M-m})$$

Первое из них кажется довольно хорошим приближением, но только для$\beta_e<<1$. Очевидно$\beta_e$и$m$имеют отношение к ответу, если вы не сделали несколько других предположений, которые я сделал. Однако я нахожу наиболее вероятным, что тот, кто спорил с вопросом, имеет только один ответ из a, b, c, не имеет для него последовательного аргумента.

Изменить: было$\sqrt{2}$фактор неправильно, потому что я набрал в уравнении неправильно. Исправлено сейчас, в соответствии с Википедией для 1-го приближения.

Когда$\beta=1$

В этом случае даже самое первое уравнение, написанное для$\beta_{dm}'$неверно, и мы должны вернуться к чертежной доске для расчета$dp$. Мне придется подойти к этому с учетом излучения одного фотона, так что мои обозначения будут такими:$dp$и$dm$относятся к изменению количества движения и массы ракеты по данным стационарного наблюдателя из-за излучения одного фотона. Частота света по данным космического корабля будет$\lambda_e$и в стационарной раме,$\lambda_o$.

$$dp = \frac{h}{\lambda_o}$$

$$p c = \frac{h c}{\lambda_o} = E = c^2 dm \rightarrow dm = \frac{h}{c \lambda_o}$$

$$\frac{dp}{dm} = c$$

Оказывается, нам не нужно ничего делать с красным смещением или даже знать частоту света! Я на самом деле ожидал этого, так что все в порядке. Мой предыдущий$dp$кстати, были не те единицы. я должен был написать$p=c \beta \gamma(\beta)$, но если вы найдете ответ с точки зрения$\beta$, то зачем заморачиваться? Так что я просто выдумаю это, чтобы$dp/dm=1$. Теперь мы можем взять предыдущее выражение для этой величины и установить его равным 1, чтобы найти DE для$\beta(m)$.

$$\frac{dp}{dm} = (M-m) \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3 = 1$$

$$\beta(0) = 0$$

Решение:

$$\beta = ln{ \frac{M}{M-m} } \sqrt{ \frac{1}{ 1+ ln{ \frac{M}{M-m} }^2 } }$$

Я построю это вместе со всеми остальными.

М = 1,0, бета_е = 0,5

• Zassou - Мой ответ в виде полного дифференциального уравнения. Численно я смог оценить только до$m=0.8$
• Википедия - решение tanh(ln( .. )) , которое также находится в статье в Википедии для этого, оно действительно для$\beta_e<<1$, и показывает некоторое отклонение от фактического здесь из-за этого, и когда$\beta_e$приближается к 1, вы можете увидеть гораздо больший изгиб кривой
• Джерри - формула, которую он дал в своем ответе
• Ньютон - явно классический случай, улетает до сверхсветовых скоростей конечно
• Фотон - уравнение, которое я только что дал - обратите внимание, что это НЕ решает ту же проблему, поскольку$\beta_e$отличается, о чем свидетельствует начальный наклон

Я не уверен, правильно ли я понял вопрос.

Во- первых , вам нужен ОГРОМНЫЙ топливный ресурс, чтобы достичь чего-либо, даже отдаленно сравнимого со скоростью света, что практически невозможно для ракеты практического размера.

Мы можем рассчитать скорость ракеты, предполагая, что газ выбрасывается с постоянной скоростью и с постоянной скоростью.

Если считать скорость выброса постоянной =$\alpha$с постоянной скоростью, то имеем$(m_0 - \alpha \times t) \times \frac {dv}{dt} - \alpha{v_0} = - (m_0 - \alpha{t})g$Решая ее, мы находим,

$v = -gt + v_0ln(\frac{m_0}{m_0 - \alpha t})$

Для общего случая, когда скорость выброса непостоянна, необходимо знать точную зависимость массы газа от времени и решить уравнение

$m\frac{dv}{dt} + v_0 \frac{dm}{dt} = F$

Во- вторых , как обычно в СТО, по мере приближения ракеты к скорости света относительно неподвижного инерциального наблюдателя ей требуется все больше и больше энергии для дальнейшего ускорения. Требуется бесконечное количество энергии, чтобы достичь точной скорости света, которая является предельной скоростью для любого физического объекта.

$E = \frac {E_0}{\sqrt {1- v^2/c^2}}$

$E_0$- энергия массы покоя ракеты и$E$энергия, необходимая для достижения скорости$v$,$c$это скорость света. Понятно, что как$v$подходы$c$,$E$подходы$\infty$

Так что, в конечном счете, именно закон природы ограничит максимальную скорость, достижимую для ракеты (или любого другого физического объекта).

Оба ответа 1 и 2 являются правильными ответами. Похоже, ваш учитель сделал несколько умственных скачков (и ожидал, что вы придете), чтобы сузить его до ответа № 1.

Игнорируя гравитационные и релятивистские соображения (и для практических ракет в дальнем космосе это разумно) и предполагая идеальный ракетный двигатель, конечная скорость ракеты может быть выражена как:

Pv = Ev x ln((Pm+Em)/Pm)

где:

Pv = Пустая ракета (Полезная нагрузка) Скорость

Pm = масса пустой ракеты (полезной нагрузки).

Ev = скорость истечения газов ракетного двигателя.

Em = общая масса выброшенного топлива (топливо + окислитель)

«ln(x)» означает «возьмите натуральный логарифм x».

Кажется, я увидел что-то похожее на эту форму в ответе sb1.

Из уравнения видно, что конечная скорость полезной нагрузки линейно пропорциональна скорости выхлопа и очень нелинейно пропорциональна Em/Pm.

Первый мысленный скачок, которого вы хотели, учитель, состоял в том, чтобы вы осознали, что у Эва есть практические ограничения. Если вы хотите увеличить скорость современной ракеты, выходящей за рамки передовых научных достижений, на 45%, вы не можете просто пойти и взять комбинацию топлива и ракеты, увеличивающую Ev на 45%. У нас этого нет.

Второй ментальный скачок, которого хотел ваш учитель, заключался в том, чтобы вы поняли, что он имел в виду «количество топлива» в процентах от общей массы ракеты. По мере увеличения этого процента у вас появляется больше рычагов для увеличения конечной скорости полезной нагрузки.

Поскольку для релятивистского случая нет правильного ответа, я решил представить ответ, который, на мой взгляд, правильный.

Начнем с соотношения движения ракеты, которое верно как для релятивистского, так и для нерелятивистского случаев:

$$\frac{d}{dt}M\overrightarrow v=\overrightarrow u\frac{dM}{dt};\overrightarrow u= \overrightarrow {u'}+\overrightarrow v$$

где$M$- полная масса ракеты (включая топливо),$\overrightarrow v$- вектор скорости ракеты и$\overrightarrow u$– вектор скорости газовой струи.$\overrightarrow {u'}$– вектор скорости выбрасываемой массы относительно ракеты.

$\overrightarrow v$и$\overrightarrow u$берутся относительно инерциальной системы координат, в которой рассматривается движение (а не относительно ракеты).

В релятивистском случае имеем:

$$M=\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ где $M'$– переменная масса покоя ракеты в подвижной системе координат, присоединенной к ракете. После подстановки и пропуска математики уравнение реативистского движения отображается как

$$\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{d\overrightarrow v}{dt}=(\overrightarrow u- \overrightarrow v)\frac{d}{dt}\left (\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right )$$

Предположим, что ускорение происходит в положительном направлении$x$-ось. Тогда последнее уравнение принимает вид:

$$\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{dv}{dt}=(u_x-v)\frac{d}{dt}\left (\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right )$$ По реативистскому закону сложения скоростей имеем:

$$u'_x=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}$$ где $u'_x$- скорость выбрасываемой массы относительно ракеты.

После подстановки и пропуска математики имеем:

$$\frac{dM'}{M'}=-\frac{1}{u'}\frac{dv}{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ Здесь мы взяли $u'_x=-u'$

После интегрирования имеем окончательно:

$$\frac{M'}{M'_0}=\left(\frac{c-v}{c+v}\right)^{\frac{c}{2u'}}$$ где $M'_0$полная масса ракеты в состоянии покоя ( $v=0$).

Для случая фотонной ракеты достаточно замены$u'=c$здесь.