По сути, скорость света не столько связана со светом, сколько с универсальным пределом скорости , который определяется значением$c$.

Если объект не имеет массы, он будет двигаться со скоростью, определяемой выражением$c$, и будет соответствовать критериям, согласно которым его скорость не зависит от движения источника или наблюдателя.

Все, что имеет массу, не будет двигаться со скоростью$c$, и ничто не может двигаться быстрее, чем$c$, и поэтому мы пришли бы к выводу, что$c$была бы единственная скорость, с которой что-то двигалось бы, такая, что эта скорость постоянна, не зависит от движения источника и наблюдателя.

Все волны в среде (например, звуковые волны, поверхностные волны в воде) распространяются со скоростью, не зависящей от скорости источника (то есть без учета дисперсии, которая создала бы зависимость от скорости через эффект Доплера).

В вакууме только свет (т.е. электромагнитные волны), гравитационные волны или другие безмассовые объекты имеют скорость, не зависящую от скорости источника (а именно, скорость света с)

Обзор

На первый взгляд, это кажется простым вопросом записи преобразований Лоренца для скоростей. Однако тогда возникает еще два вопроса: почему Лоренц преобразуется и почему у нас не может быть двух или более групп Лоренца в пространстве-времени. Кроме того, я видел, как вы спрашивали в комментарии, почему безмассовые объекты должны двигаться со скоростью света, что я также включу. Сначала более легкая часть:

Преобразования Лоренца по скорости

Если предположить, что преобразования между системами отсчета являются преобразованиями Лоренца:

$\begin{cases}ct'=\gamma\left(ct-\beta x\right)\\x'=\gamma\left(x-\beta ct\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}$

Вы правы, рассматривая замедление времени, но нам также необходимо учитывать сокращение длины:

$$\begin{align}u'_x=\frac{x'}{t'}&=\frac{\gamma\left(x-\beta ct\right)}{\gamma\left(t-\frac{1}{c}\beta x\right)}\\&=\frac{u_x-v}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\tag*{As $u_x=\frac{x}{t}$}\\u'_y=\frac{y'}{t'}&=\frac{y}{\gamma\left(t-\frac{1}{c}\beta x\right)}\\&=\frac{u_y}{\gamma\left(1-\dfrac{u_xv}{c^2}\right)}\tag*{As $u_y=\frac{y}{t}$}\\\text{Similarly }u'_z=\frac{z'}{t'}&=\frac{z}{\gamma\left(t-\frac{1}{c}\beta x\right)}\\&=\frac{u_z}{\gamma\left(1-\dfrac{u_xv}{c^2}\right)}\tag*{As $u_z=\frac{z}{t}$}\end{align}$$

Тогда, если мы рассмотрим объект, движущийся со скоростью$\vec u$в системе отсчета$S$затем, используя как замедление времени, так и сокращение длины, мы находим, что скорость объекта в системе отсчета, движущегося со скоростью$v$в$x$-относительное направление$S$дан кем-то:

$$\vec u'=\begin{pmatrix}\dfrac{u_x-v}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}},&\dfrac{u_y}{\gamma\left(1-\dfrac{u_xv}{c^2}\right)}&\dfrac{u_z}{\gamma\left(1-\dfrac{u_xv}{c^2}\right)}\end{pmatrix}$$

где$\gamma\equiv\left(1-\beta^2\right)^{-\frac{1}{2}}$и$\beta\equiv\dfrac{v}{c}$

Теперь нас интересует скорость, а не скорость, поэтому:

$$\begin{align}u'&=\sqrt{u_x'^2+u_y'^2+u_z'^2}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{u_x^2-2u_xv+v^2+\gamma^{-2}\left(u_y^2+u_z^2\right)}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{u_x^2-2u_xv+v^2+\left(1-\beta^2\right)\left(u_y^2+u_z^2\right)}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{u^2-2u_xv+v^2-\beta^2\left(u^2-u_x^2\right)}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{\gamma^{-2}u^2+\beta^2u_x^2-2u_xv+v^2}\\&=\frac{u}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{\gamma^{-2}+\beta^2\frac{u_x^2}{u^2}-2\frac{u_xv}{u^2}+\frac{v^2}{u^2}}\end{align}$$

Если мы возьмем$u\le c$затем$\beta\le\frac{v}{u}$с эквивалентностью только тогда, когда$u=c$и так:

$$\begin{align}\frac{u'}{u}&\le\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{1-\beta^2+\frac{u_x^2v^2}{u^4}-2\frac{u_xv}{u^2}+\frac{v^2}{u^2}}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{\left(1-\frac{u_xv}{u^2}\right)^2-\beta^2+\frac{v^2}{u^2}}\quad\text{with equivalence only when $u=c$}\\\therefore\frac{u'}{u}&\le1\quad\text{found by substituting in $u=c$}\end{align}$$

Таким образом, мы получаем постоянную скорость, только если$u=c$.

Как видно из приведенного выше неравенства, скорость света является пределом скорости. Заметьте также, что мы ни разу не упомянули класс объекта, для которого вычисляли скорость, на самом деле, это может быть даже не физический объект, а другая система отсчета. Это важно, потому что это означает, что ограничение скорости является свойством пространства-времени, а не объектов внутри пространства-времени.

Почему Лоренц трансформируется

Прежде всего потому, что это то, что мы наблюдаем экспериментально. Но какие еще есть варианты? Что ж, в общей теории относительности мы обобщаем пространство-время, позволяя ему принимать форму (псевдо)риманова многообразия, и поэтому инвариантное расстояние между точками на многообразии определяется выражением$\text{d}s^2=g_{\mu\nu}\text{d}x^{\mu}\text{d}x^{\nu}$где$g_{\mu\nu}$является метрическим тензором. Теперь мы всегда можем выбрать координаты так, чтобы в данной точке пространства-времени метрика была диагональной либо с$+1$или$-1$для каждого диагонального элемента. Поскольку мы наблюдаем, что пространство изотропно, мы должны придать всем пространственным координатам один и тот же знак, и поэтому без ограничения общности мы можем сделать этот знак отрицательным. Таким образом, метрика должна иметь вид$\operatorname{diagonal}\left(\pm1,-1,-1,-1\right)$. В обоих случаях переводы разрешены, поскольку мы используем дифференциальное расстояние. Но если мы возьмем отрицательный знак, мы получим локально евклидово пространство, и единственными возможными дополнительными преобразованиями будут повороты и отражения — см. ортогональную группу для более подробной информации. Но если мы возьмем положительный знак, то у нас есть локальное пространство Минковского, и единственными возможными дополнительными преобразованиями являются преобразования Лоренца и отражения - см. Группу Лоренца для более подробной информации. Теперь мы наблюдаем преобразования Лоренца в экспериментах, поэтому мы знаем, в какой из двух возможностей мы живем. Теперь должно быть ясно, что преобразования Лоренца применимы к пространству-времени, а не к объектам внутри.

Почему не несколько значений$c$

Теперь мы знаем, почему у нас есть преобразования Лоренца, и мы знаем, что группа преобразований Лоренца для заданного значения$c$ввести ограничение скорости$c$. А теперь представьте, если бы мы позволили$c$принимать более одного значения. Что бы это означало? Допустим, вы стоите на платформе поезда и смотрите, как проезжает поезд. В поезде находится человек, идущий навстречу поезду со скоростью$u$относительно поезда. Итак, с какой скоростью мы видим идущего человека? Итак, мы установили, что преобразования Лоренца являются свойством пространства-времени, а не объекта, поэтому, если бы у нас было несколько значений$c$то каждое значение$c$дал бы другую скорость, которую вы наблюдали бы для идущего человека, и поскольку вы можете наблюдать только одну скорость, тогда должно быть только одно значение для$c$.

Возможно, вы не уверены, что преобразование Лоренца должно быть свойством пространства-времени, поэтому давайте на секунду представим, что произойдет, если$c$зависело от объекта. Рассмотрим объект, состоящий из частиц, на некоторые из которых воздействовало одно значение$c$и некоторые из которых были затронуты некоторым другим значением$c$. В некоторой системе отсчета объект может двигаться относительно наблюдателя, но казаться неизменным по отношению к своим сопутствующим координатам. Теперь другой наблюдатель будет наблюдать разрыв объекта в своей системе отсчета, когда частицы разных$c$в этой системе отсчета должны иметь относительную скорость друг к другу! Сейчас мы этого не наблюдаем, но будет ли это вообще последовательной теорией? Итак, рассмотрим двух наблюдателей, разделенных в пространстве и движущихся относительно объекта так, что кажется, что он не разрывается на части. Теперь, если один из наблюдателей ускорится, чтобы двигаться к другому наблюдателю, объект будет казаться им разрывающимся на части, тогда, когда они достигнут другого наблюдателя и замедлятся, объект перестанет разрываться дальше, но все равно будет разрываться с их точки зрения. . Но наблюдатель, уже находящийся там, будет утверждать, что он видит объект в целости и сохранности!

Безмассовые объекты

Импульс - это 4-вектор, поэтому он должен преобразовываться с помощью преобразований Лоренца. Это означает, что форма 3-части импульса$\vec p=\gamma m\vec v$. Теперь мы просто инвертируем это уравнение, чтобы найти$\vec v$:

$$\begin{align}p^2\left(1-\beta^2\right)&=m^2v^2\\v^2&=\frac{p^2c^2}{m^2c^2+p^2}\\\implies\vec v&=\frac{\vec pc}{\sqrt{m^2c^2+p^2}}\end{align}$$

Теперь установите$m=0$и тривиально мы видим, что$v=c$.

Да, это невозможно.

Я нашел следующую вступительную дискуссию у Ландау-Лифшица.$^1$освещающий. Здесь утверждается, что скорость взаимодействий максимальна, уникальна и универсальна.

Взаимодействие материальных частиц описывается в обычной механике с помощью потенциальной энергии взаимодействия, которая появляется как функция координат взаимодействующих частиц. Легко видеть, что такой способ описания взаимодействий содержит предположение о мгновенном распространении взаимодействий. Ибо силы, действующие на каждую из частиц со стороны других частиц в определенный момент времени, зависят, согласно этому описанию, только от положения частиц в этот момент. Изменение положения любой из взаимодействующих частиц немедленно влияет на другие частицы.

Однако опыт показывает, что мгновенных взаимодействий в природе не существует. Таким образом, механика, основанная на допущении мгновенного распространения взаимодействий, содержит в себе известную неточность. В действительности, если какое-либо изменение произойдет в одном из взаимодействующих тел, то оно повлияет на другие тела лишь по прошествии определенного промежутка времени. Только после этого промежутка времени во втором теле начинают происходить процессы по начальному изменению. Разделив расстояние между двумя телами на этот интервал времени, получим скорость распространения взаимодействия .

Заметим, что эту скорость следует, строго говоря, назвать максимальной скоростью распространения взаимодействия. Он определяет только тот интервал времени, после которого начинается изменение, происходящее в одном теле.проявить себя в другом. Ясно, что существование максимальной скорости распространения взаимодействий означает в то же время, что движения тел с большей скоростью вообще невозможны в природе. Ибо если бы такое движение могло иметь место, то посредством него можно было бы осуществить взаимодействие со скоростью, превышающей максимально возможную скорость распространения взаимодействий. Взаимодействия, распространяющиеся от одной частицы к другой, часто называют «сигналами», исходящими от первой частицы и «информирующими» вторую частицу об изменениях, которые испытала первая. Тогда скорость распространения взаимодействия называется скоростью сигнала .

Из принципа относительности следует$^2$что скорость распространения взаимодействий одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, скорость распространения взаимодействий есть универсальная постоянная скорость (как мы покажем позже) и скорость света в пустом пространстве.

Я надеюсь, что это внесет ясность.

---

Нижний колонтитул

$^1$Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.; стр. 1-2 ; Классическая теория полей , четвертое исправленное английское издание, курс теоретической физики, том 2; Издатель: Баттерворт Хайнеманн

$^2$Пусть скорость взаимодействий зависит от скорости инерциальной системы отсчета относительно. лаборатория Затем, измерив изменение скорости взаимодействий относительно. лабораторного значения, движущиеся инерциальные наблюдатели могли бы сказать, что они движутся, тем самым нарушая принцип относительности.

Следующие эквивалентны:

1. В некоторой системе отсчета частица$X$иногда едет на скорости$c$.

2. В некоторой системе отсчета частица$X$всегда едет со скоростью$c$.

3. В каждой системе отсчета частица$X$иногда едет на скорости$c$.

4. В каждой системе отсчета частица$X$всегда едет со скоростью$c$.

5. Масса частицы$X$равен нулю.