Максимальная вероятность успеха для различения двух чистых состояний при одном измерении

Эта задача известна как оценка максимального правдоподобия , и ее лучше всего решать следующим образом.

Поскольку задействованы только два состояния, можно работать в двумерном подпространстве. Выберите основу$\{|0\rangle,|1\rangle\}$такой, что

$$\begin{pmatrix} \langle 0|\psi_1\rangle \\ \langle 1|\psi_1\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2)\\\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \langle 0|\psi_2\rangle \\ \langle 1|\psi_2\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2)\\ -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix},$$ что всегда возможно. (На сфере Блоха $|0\rangle$лежит прямо между $|\psi_1\rangle$и $|\psi_2\rangle$, и $|1\rangle$диаметрально противоположно).

Процесс измерения описывается двумя проекторами$\Pi_1$и$\Pi_2$, который должен удовлетворять$\Pi_1\Pi_2=0$и$\Pi_1+\Pi_2=\mathbb I$; в любое время$\Pi_1$наблюдается один произносит для$|\psi_1\rangle$, и наоборот.

Следовательно, вероятность успеха равна

$$\begin{align} P&= \tfrac12\langle\psi_1|\Pi_1|\psi_1\rangle+\tfrac12\langle\psi_1|\Pi_1|\psi_1\rangle \\&=\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_1\rangle\langle\psi_1|\right] +\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_2|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right] \\&=\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_1\rangle\langle\psi_1|\right] +\tfrac12 -\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right] \\&=\tfrac12+\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\left(|\psi_1\rangle\langle\psi_1|-|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right)\right]. \end{align}$$

Здесь может быть разработана комбинация проекторов состояния, чтобы дать

$$\begin{align} |\psi_1\rangle\langle\psi_1|-|\psi_2\rangle\langle\psi_2| &= \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) & \sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) \\ \sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&\quad- \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) & -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) \\ -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\cos^2(\alpha/2) & \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\\ \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)& \sin^2(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&\quad- \begin{pmatrix}\cos^2(\alpha/2) & -\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\\ -\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)& \sin^2(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&= \sin(\alpha)\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \\&=\sin(\alpha)\sigma_x. \end{align}$$

При этом вероятность равна

$$P=\tfrac12+\tfrac12\sin(\alpha)\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\sigma_x\right].$$ Здесь след $\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\sigma_x\right]$должен быть оптимизирован за счет соответствующего выбора проектора. Оптимальный выбор – это $+1$собственный проектор $\sigma_x$, так $\Pi_1=|+\rangle\langle+|$является наилучшим возможным измерением.

Для этого проектора трассировка равна 1, что означает, что общая вероятность равна

$$P=\tfrac12+\tfrac12\sin(\alpha)$$ как указано в вопросе.