Каноническая теория возмущений кеплеровских орбит

Преамбула

Движение пробной частицы вокруг точечной массы$\mu$подчиняется гамильтониану

$$(*)\qquad\qquad H(r,p_r,p_\phi) = \frac{p_r^2}{2} + \frac{p_\phi^2}{2r^2} - \frac{\mu}{r}$$ который имеет известные решения и представление действия $$H(J_r,J_\phi) = -\frac{\mu^2}{2(J_r+J_\phi)^2} = -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} \left(1 - 2\frac{J_r}{J_\phi} + 3 \frac{J_r^2}{J_\phi^2} + O(J_r^3) \right),$$ где $J_\phi=p_\phi$. Теперь при фиксированном $p_\phi=J_\phi$, можно рассмотреть гамильтониан $(*)$как только для радиального движения и переписать его как $$H_r(r,p_r) = \frac{p_r^2}{2} + \Phi_{\mathrm{eff}}(r) \qquad\text{with}\qquad \Phi_{\mathrm{eff}}(r) = -\frac{\mu}{r} + \frac{J_\phi^2}{2r^2},$$ который имеет $J_\phi$как параметр. Минимум $\Phi_{\mathrm{eff}}$происходит в радиусе $r_{\mathrm{c}}=J_\phi^2/\mu$круговой орбиты с угловым моментом $J_\phi$. $\Phi_{\mathrm{eff}}$имеет разложение Тейлора $$\Phi_{\mathrm{eff}}(r) = -\frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}} + \frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}^3} x^2 - \frac{\mu}{r_{\mathrm{c}}^4} x^3 + \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} x^4 + O(x^5)$$ с $x\equiv r-r_{\mathrm{c}}(J_\phi)$. Здесь первый член — это энергия круговой орбиты. Теперь разделить $H_r=H_0 + H_1$с $$\begin{align} H_0 &= -\frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}} + \frac{p_x^2}{2} + \frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}^3} x^2,& H_1 &= - \frac{\mu}{r_{\mathrm{c}}^4} x^3 + \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} x^4. \end{align}$$ Классическая теория эпициклов (например, Lindblad 1926) соответствует игнорированию $H_1$и решение $H_0$, которое представляет собой простое гармоническое движение с эпициклической частотой $\kappa\equiv\sqrt{\mu/r_{\mathrm{c}}^3}=\mu^2/J_\phi^3$, давая $$\begin{align} x_0 &= \sqrt{\frac{2J_r}{\kappa}}\sin\theta, &\theta&=\vartheta+\kappa t,\\ H_0 &= -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} + \kappa J_r &&= -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} \left(1 - 2 \frac{J_r}{J_\phi}\right), \end{align}$$ который является первым порядком полного гамильтониана $H(J_r,J_\phi)$выше. Все это стандартные учебники, за исключением $H_1(x)$(что правильно).

Вопрос

Теперь воспользуемся канонической теорией возмущений, чтобы перейти к следующему порядку. Согласно Лихтенбергу и Либерману (Springer, 1983), это равносильно усреднению возмущения$H_1(x)$по невозмущенной орбите (заметим, что$\langle\sin^3\theta\rangle=0$и$\langle\sin^4\theta\rangle=3/8$):

$$\left\langle H_1\left(x=x_0(\theta)\right)\right\rangle = \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} \frac{4J_r^2}{\kappa^2}\frac{3}{8} = \frac{9\mu^2}{4J_\phi^2}\frac{J_r^2}{J_\phi^2}.$$

Однако из полного$H(J_r,J_\phi)$выше, мы ожидаем

$$H_1 = -\frac{3\mu^2}{2J_\phi^2}\frac{J_r^2}{J_\phi^2}$$ который отличается коэффициентом $-3/2$.

Что пошло не так с моим выводом?