При решении задачи мне нужно было найти уравнение квазикруговых орбит тела с потенциалом и я выразил это как:
Однако автор упражнения писал, что период можно легко найти по но не объясняет почему. Мой вопрос заключается в том, откуда взялась эта формула и является ли она точной или просто приближенной.
Я думаю, что «квазикруглый» — это вводящее в заблуждение название этой проблемы. Возможно, «квазиэллиптический» был бы лучше? Я говорю это потому, что эта задача действительно содержит замкнутую круговую орбиту (радиус которой вы назвали ). Для этой орбиты вы можете найти период, используя второй закон Кеплера, который дает результат, который вы показываете.
Интересным способом решения этой проблемы является рассмотрение только малых радиальных колебаний вокруг окружности. Найдите частоту колебаний, разложив эффективный потенциал около минимума. Посмотрите, как это связано с частотой круговой орбиты. Что происходит, когда ? Вы должны обнаружить, что в этом случае (закон обратных квадратов силы) частота малых колебаний идентична частоте круговой орбиты. Это еще один способ увидеть, что орбиты должны быть эллипсоидальными. Но для ненулевого , это уже не так. Для маленьких , вместо этого вы получаете почти эллипсы, которые просто не закрываются. Эти прецессионные эллипсы описываются радиальной формулой, которую вы дали.
Ваша проблема связана с потенциалом, который зависит только от радиуса. Ньютон доказал, что в таких задачах момент импульса сохраняется. Ваш инструктор использовал этот общеизвестный факт.
Рон Маймон
Ральф
Рон Маймон