Откуда мы знаем, что решение Шварцшильда содержит объект массы МММ?

Сохраняемые количества в GR

В ОТО энергия (или масса) обычно является плохо определенным понятием. В плоском пространстве-времени мы определяем энергию как сохраняющуюся величину, соответствующую трансляционной симметрии времени. Распространение этого на ОТО довольно сложно, главным образом потому, что то, что называют временем, уже зависит от наблюдателя (это, конечно, верно и для плоского пространства-времени, но, по крайней мере, там у нас есть каноническое определение времени, данное инерциальными наблюдателями). Вторая проблема ОТО заключается в том, что перенос времени может не быть симметрией пространства-времени, что делает невозможным определение энергии. В частности, напомним, что метрика в ОТО является флуктуирующим полем, что вдвойне затрудняет определение времениподобных векторов Киллинга, когда сам фон флуктуирует.

В любом случае, я надеюсь, что из этого вы сможете понять, что определение энергии и, фактически, любой сохраняющейся величины, зависящей от изометрии пространства-времени, на самом деле не является чем-то, о чем можно говорить в общей теории относительности. Так что же нам делать? Как определить такие величины?

Как определить энергию в ОТО?

Одно из возможных решений — уйти очень-очень далеко от всех форм материи в область, где может существовать только излучение. В этой области, известной как асимптотическая бесконечность, пространство-время приблизительно плоское, и здесь можно надеяться определить энергию. В этой области у нас есть четко определенное понятие инерциальных наблюдателей, относительно которых мы можем определить время и, следовательно, энергию. Энергия/масса, определенная таким образом, называется АДМ (Арновитт, Дезер, Мизнер) энергией пространства-времени. Он описывает массу системы, измеренную инерциальным наблюдателем, находящимся на бесконечности.

Масса ADM черной дыры Шварцшильда

Точные формулы для массы АДМ можно прочитать, например, у Кэрролла. Используя эту формулу, мы можем вычислить массу ADM черной дыры Шварцшильда и найти, что она равна$M$. Отсюда мы знаем, что количество$M$представляет собой массу черной дыры Шварцшильда. Другими словами, утверждение таково: поместите инерциального наблюдателя очень далеко от черной дыры и попросите его/ее измерить энергию системы, которую он/она будет делать за время, которое он/она испытывает. В результате они обнаружат, что энергия системы$=M$.

Предостережение здесь заключается в том, что они должны убедиться, что сами находятся в состоянии покоя относительно черной дыры. Существует широкий класс инерциальных наблюдателей на бесконечности, некоторые (фактически большинство) из которых движутся относительно черной дыры. Мы хотели бы определить массу как энергию покоящейся системы . Таким образом, мы должны выбрать нашего инерциального наблюдателя так, чтобы измеряемый им импульс был равен нулю. В этой системе координат энергия, которую он/она измеряет, будет массой. Когда это делается для Шварцшильда, мы получаем ответ:$M$.

Дополнительное примечание

Масса ADM — это то, что мы обычно называем массой системы, за исключением одного недостатка. Инерционный наблюдатель на бесконечности не может измерить энергию в испускаемом гравитационном или электромагнитном излучении. Например, если бы черная дыра Шварцшильда начала излучать энергию через гравитационные волны и в конце концов исчезла, масса ADM, измеренная наблюдателем на бесконечности, все равно была бы$M$.

Когда для задачи важно гравитационное излучение (например, при изучении рассеяния гравитационных волн), более удобным определением массы является масса Бонди.$m_B$которая определяется как масса, измеренная наблюдателем Бонди на бесконечности. Наблюдатель Бонди — это тот, кто движется со скоростью света вдоль нулевой бесконечности. Масса Бонди является функцией (нулевого) времени.$m_B(u)$чтобы он улавливал не только текущую массу, но и изменение массы системы за счет излучения.

1. Будем для простоты работать в единицах, где скорость света$c=1$равно единице, и предположим, что космологической постоянной нет$\Lambda=0$. Сферически-симметричное вакуумное решение ЭФЭ вида

   $$\tag{1} ds^2~=~g_{tt}(r)dt^2 + g_{rr}(r)dr^2 +r^2 d\Omega^2,$$ и такое, что оно асимтотически становится пространством Минковского $$\tag{2} -g_{tt}(r\!=\!\infty)~=~ 1~=~g_{rr}(r\!=\!\infty),$$ тогда однозначно дается $$\tag{3} -g_{tt}(r)~=~ 1-\frac{R_S}{r} ~=~\frac{1}{g_{rr}(r)},$$ куда$R_S$является параметром длины, ср. Теорема Биркгофа и этот пост Phys.SE.

2. Асимптотически для слабых гравитационных полей$|\Phi|\ll 1$, известно, что мы можем идентифицировать$tt$-компонент метрики

   $$\tag{4} -g_{tt}~\approx~e^{2\Phi}~\approx~1+2\Phi, \qquad r\to \infty,$$ с ньютоновским потенциалом $$\tag{5}\Phi~=~-\frac{GM}{r},$$ куда$M$массовый параметр, ср. например, ссылки 1 и 2.

3. Сравнение ур. (3), (4) и (5), выводим соотношение

   $$\tag{6} R_S~=~ 2GM$$ между параметром длины$R_S$и массовый параметр$M$.

4. ОП, по сути, размышляет, можно ли нарушить предыдущий вывод (6), рассмотрев репараметризацию$\bar{r}=f(r)$радиальной координаты$r$. Ответ: нет . Теорема Биркгофа и требование асимтотического пространства Минковского накладывают слишком жесткие условия на радиальную репараметризацию.

Использованная литература:

1. Шон Кэрролл, Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности , 2003.

2. Шон Кэрролл, Конспект лекций по общей теории относительности , глава 4. Файл в формате pdf доступен здесь .

Есть ли другой способ заключить, что решение Шварцшильда имеет массу M

Это не столько вывод, сколько определение . Из Шютца в «Первом курсе общей теории относительности», раздел 8.4 «Ньютоновские гравитационные поля», страницы 207–208 :

Любое маленькое тело, например планета, которое свободно падает в гравитационном поле релятивистского источника, но остается далеко от него, будет следовать геодезическим метрики, уравнение. (8.49), с$\phi$дается уравнением (8.59). Дюйм. 7 мы видели, что эти геодезические подчиняются законам Кеплера для гравитационного поля тела массы$M$. Поэтому мы определяем эту константу$M$быть полной массой релятивистского источника.

Обратите внимание, что это определение не является интегралом по источнику: мы не складываем массы составляющих его частиц. Вместо этого мы просто измеряем его массу — «взвешиваем» — по орбитам, которые он производит в удаленных пробных телах. Это определение позволяет нам написать уравнение (8.50) в его виде вдали от любого стационарного источника:

$$\mathrm{d}s^2 = -[1 - 2M/r + O(r^{-2})]\mathrm{d}t^2 + [1 + 2M/r + O(r^{-2})](\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)$$

Тогда в разделе 10.4 «Внешняя геометрия», страницы 257–258 , мы имеем

Таким образом, мы видим, что внешняя метрика имеет следующий вид, называемый метрикой Шварцшильда :

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{2M}{r}} + r^2\mathrm{d}\Omega^2$$

Для больших$r$, это становится

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1 + \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2$$

Можно найти координаты$(x,y,z)$таким, что он становится

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1 - \frac{2M}{R}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1 + \frac{2M}{R}\right)(\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)$$

куда$R \equiv (\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)^{1/2}$. Мы видим, что это метрика дальнего поля звезды полной массы$M$(см. уравнение (8.60)). Это оправдывает определение, уравнение. (10.28), а выбор символа$M$.

Один из способов установить, что$r$в координатах Шварцшильда эквивалентна сферической радиальной координате в ее асимптотическом поведении, а именно для$r\to\infty$метрика стремится к Минковскому, а приближение слабого поля дает гравитационный потенциал Ньютона.

Один из способов установить, что параметр$M$действительно масса пространства-времени, чтобы вычислить массу Комара :