Масса нейтрино с Дираком и Майораной

Уравнения Майораны и Дирака обычно рассматриваются как два разных и взаимоисключающих уравнения. Однако и то, и другое можно рассматривать как частные случаи более общего уравнения.

Начнем с уравнения Дирака, записанного в терминах «левого» ($\xi$) и "правильно" ($\dot\eta$) компоненты спинора:

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 & {\partial{}}_1-i{\partial{}}_2 \\ {\partial{}}_1+{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 \end{array} \right]\left[\begin{array}{cc} {\eta{}}_{\dot{1}} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} \end{array}\right] =-im\left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 & -{\partial{}}_1+i{\partial{}}_2 \\ -{\partial{}}_1-{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] =-im\left[\begin{array}{cc} {\eta{}}_{\dot{1}} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} \end{array}\right] \end{array} \end{equation}$$

Уравнение Майораны имеет ту же форму, что и уравнение Дирака, но с дополнительным условием (также известным как условие Майораны или условие нейтральности ):

$$\begin{equation} \begin{array}{c} {\eta{}}_{\dot{1}} = \overline{{\xi{}}^2} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} = - \ \overline{{\xi{}}^1} \end{array} \ \ \ \ \begin{array}{c} {\xi{}}^1 = - \ \overline{{\eta{}}_{\dot{2}}}\\ {\xi{}}^2 = \overline{{\eta{}}_{\dot{1}}} \end{array} \end{equation}$$ Если мы подставим это в уравнение Дирака, то получим:

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 & {\partial{}}_1-i{\partial{}}_2 \\ {\partial{}}_1+{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ cc} \overline{{\xi{}}^2} \\ -\overline{{\xi{}}^1} \end{array}\right]=-im\left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] \\\\ \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 & -{\partial{}}_1+i{\partial{}}_2 \\ -{\partial{}}_1-{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right]=-im\left[\begin{array}{cc} \overline{{\xi{}}^2} \\ -\overline{{\xi{}}^1} \end{array}\right] \end{array} \end{equation}$$

Следовательно, условие Майораны делает обе пары уравнений Дирака эквивалентными, оставляя только одну независимую пару.

Давайте теперь введем более общее уравнение, заменив массовые члены в уравнении Дирака «массовой матрицей».$M$:

$$\begin{equation} M=\ \left[\begin{array}{cc} M_1^1 & M_2^1 \\ M_1^2 & M_2^2 \end{array}\right] \end{equation}$$

и комплексно сопряженная матрица$\dot{M}$

$$\begin{equation} \dot{M}=\ \left[\begin{array}{ cc} \dot{M}_{\dot{1}}^{\dot{1}} & \dot{M}_{\dot{2}}^{\dot{1}} \\ \dot{M}_{\dot{1}}^{\dot{2}} & \dot{M}_{\dot{2}}^{\dot{2}} \end{array}\right] \end{equation}$$ Модифицированное уравнение будет иметь вид:

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 & {\partial{}}_1-i{\partial{}}_2 \\ {\partial{}}_1+{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 \end{array} \right]\left[\begin{array}{cc} {\eta{}}_{\dot{1}} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ cc} M_1^1 & M_2^1 \\ M_1^2 & M_2^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 & -{\partial{}}_1+i{\partial{}}_2 \\ -{\partial{}}_1-{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ cc} \dot{M}_{\dot{1}}^{\dot{1}} & \dot{M}_{\dot{2}}^{\dot{1}} \\ \dot{M}_{\dot{1}}^{\dot{2}} & \dot{M}_{\dot{2}}^{\dot{2}} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\eta{}}_{\dot{1}} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} \end{array}\right] \end{array} \end{equation}$$

Если нам потребуется, чтобы «левый» спинор$\xi$является собственным вектором матрицы$M$, и "правильный" спинор$\dot \eta$является собственным вектором матрицы$\dot M$, оба соответствуют одному и тому же собственному значению$(-im)$

$$\begin{equation} \begin{array}{c} M\xi = -im\xi \\ \\ \dot M \dot{\eta} = -im \dot{\eta} \end{array} \end{equation}$$

мы снова воспроизводим структуру уравнения Дирака.

Теперь «тип» уравнения (т. е. Дирака, Майораны или Вейля) будет зависеть только от специального выбора матрицы$M$.

Например, если мы выберем$M$как

$$\begin{equation} M=\left[ \begin{array}{cc} 0 & m \\ -m & 0 \end{array}\right] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \dot{M}=\left[ \begin{array}{cc} 0 & m \\ -m & 0 \end{array}\right] \end{equation}$$

собственные векторы, соответствующие собственному значению$(-im)$будет:

$$\begin{equation} \begin{array}{cc} \xi_D = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right]\phi(x) & \dot\eta_D = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right]\phi(x) & \end{array} \end{equation}$$

как и должно быть в случае дираковских фермионов (см., например, Peskin & Schroeder, глава 3.3).

В качестве альтернативы мы можем выбрать$M$как

$$\begin{equation} M=\left[ \begin{array}{cc} im & 0 \\ 0 & -im \end{array}\right] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \dot{M}=\left[ \begin{array}{cc} -im & 0 \\ 0 & im \end{array}\right] \end{equation}$$

и собственные векторы, соответствующие собственному значению$(-im)$будет:

$$\begin{equation} \begin{array}{cc} \xi_M = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right]\phi(x) & \dot\eta_M = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right]\phi(x) & \end{array} \end{equation}$$

Легко проверить, что спиноры$\xi_M$и${\dot\eta}_M$ автоматически удовлетворяют условию Майораны.

Наиболее общий вид «массовой матрицы»$M$как следует:

$$\begin{equation} M=\ \left[\begin{array}{ cc} M_1^1 & M_2^1 \\ M_1^2 & {-M}_1^1 \end{array}\right]=\ F^k{\sigma{}}_k=\left[\begin{array}{ cc} F^3 & F^1-iF^2 \\ F^1+iF^2 & -F^3 \end{array}\right], \ \ \ \ k=1,2,3 \end{equation}$$

и его собственные значения

$$\begin{equation} {\lambda{}}_{\pm{}}=\ \pm{}\sqrt{{\left(F^1\right)}^2+{\left(F^2\right)}^2+{\left(F^3\right)}^2} \end{equation}$$

Матрица$M$принадлежит алгебре Ли группы$SL(2,C)$.

Для сохранения лоренц-инвариантности уравнения компоненты массовой матрицы$F^k$требуется преобразовать как вектор$E^k-iB^k$, где$E^k$и$B^k$являются составляющими напряженностей электрического и магнитного полей. В этом случае собственные значения матрицы$M$инвариантны относительно преобразований Лоренца, а само уравнение лоренц-инвариантно.

Дальнейшее обобщение уравнения (с учетом$M$быть не постоянной, а переменной матрицей) приводят к модели , объясняющей происхождение массы и заряда в электродинамике.