Масштабная инвариантность в КТП?

То, что подразумевается под размерностью дробного масштабирования, - это именно то, что говорится: учитывая дилатацию$x\mapsto\lambda x$, поле/оператор$\mathcal{O}(x)$ведет себя как

$$\mathcal{O}(\lambda x) = \lambda^h\mathcal{O}(x)$$ с $h\in\mathbb{R}$возможно дробное или даже иррациональное число.

Ярким примером квантовых теорий поля, в которых появляется размерность дробного масштабирования, являются конформные теории поля , которые всегда масштабно-инвариантны, поскольку масштабирование является лишь одним из конформных преобразований. На самом деле немного необычно, чтобы интересная теория была масштабной, а не конформно-инвариантной. Что автор имеет в виду под «масштабированием по дробным размерам», так это то, что квантовые теории не обязательно должны иметь целые числа.$h$. Вот "простой" пример:

Рассмотрим двумерную теорию майорановского фермиона.$\psi$на цилиндре$\Sigma = S^1 \times \mathbb{R}$. Действие

$$S[\psi] = \int_\Sigma \bar\Psi\gamma^\mu\partial_\mu\Psi$$ с $\Psi = (\psi \;\bar \psi)^T$. Существует конформное отображение на комплексную плоскость такое, что $$S[\psi] = \int_\mathbb{C} \psi\bar\partial\psi + \bar\psi\partial\bar\psi$$ где мера интегрирования в обоих случаях уже выбрана инвариантной относительно конформных (и других) преобразований. Эта теория инвариантна к масштабу тогда и только тогда, когда при $z\mapsto\lambda z$, $\bar z \mapsto \bar\lambda\bar z$¹ поля ведут себя как $$\psi(\lambda z,\bar\lambda\bar z) = \lambda^{1/2}\psi(z,\bar z)\text{ and } \bar\psi(\lambda z,\bar\lambda\bar z) = \bar\lambda^{1/2}\psi(z,\bar z)$$ где $\frac{1}{2}$явно является дробным «размером масштабирования». Однако в полном квантовом анализе оказывается, что существует третье независимое состояние (которое, согласно соответствию состояния и поля КТП, означает, что существует третье независимое поле), которое имеет скейлинговую размерность $\frac{1}{16}$. Существенно это связано с возможностью выбора антипериодических граничных условий для спинорных полей.

---

^{1 Это раздражающее соглашение писать$\bar\lambda$для фактора второй дилатации, хотя он не является комплексно-сопряженным$\lambda$, как только$\bar h$не является комплексным сопряжением$h$В следующих}