Как интегрировать поля WWW-бозонов?

В классической физике уравнения движения получаются изменением действия$S$. Когда мы квантуем, мы рассматриваем интеграл по путям$Z\left[\varphi\right]=\int\mathcal{D}\varphi \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}$, функциональный интеграл по набору$\varphi$всех полей, так что$S\left[\varphi\right]$зависит только от$\varphi$и его производные. Тогда операторы имеют средства

$$\left\langle\mathcal{O}\right\rangle=\frac{\int\mathcal{D}\varphi\mathcal{O} \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}}{\int\mathcal{D}\varphi \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}}.$$ Поскольку определение функциональной интеграции находится в зачаточном состоянии, отправной точкой является обобщение известного тождества $$\int_{\mathbb{R}^N} d^Nx\text{e}^{-\frac{1}{2}x^TAx+J^Tx}=\frac{\left(2\pi\right)^{N/2}e^{\frac{1}{2}J^2}}{\sqrt{\det A}}$$ для$N\times N$симметричные обратимые действительные матрицы$A$. Принимая$N\to\infty$предел меры интегрирования, разработанной с нормализацией, которая отменяет силу$2\pi$, мы получаем функциональный интеграл, к которому я перейду чуть позже. Во-первых, заметим, что скалярное произведение$U^TV=\sum_i U_iV_i$обобщается интегралом, поэтому результат $$\int\mathcal{D}\varphi\text{e}^{\int\left(-\frac{1}{2} \varphi A\varphi+J\varphi\right)d^Dx}=\text{e}^{\frac{1}{2}J^2}\sqrt{\det D}$$ с$D:=A^{-1}$для обратимого оператора$A$, каким бы ни был определитель оператора! (Это предполагает$D$-мерное пространство-время, в котором$\varphi$жизни. Оператор$D$является пропагатором.) Аналогичный результат получается с заменой$A\to iA$, и мы можем использовать это для рассмотрения многих интегралов вида$\int\mathcal{D}\varphi\text{e}^{i\int d^Dx\mathcal{L}\left[\varphi,\,J\right]}$, с$\mathcal{L\left[\varphi,\,J\right]}$лагранжева плотность, зависящая от полей, и (здесь мы получаем еще одно физическое отличие) ток$J$. Когда я говорю, что мы можем рассмотреть эти интегралы, я имею в виду, что теперь можно использовать отношения для вычисления средних операторов. Например, если$\mathcal{O}=e^{-aW^2}$для постоянного$a$и поле$W$включен в$\varphi$,$\left\langle\mathcal{O}\right\rangle$вычисляется как отношение двух интегралов, и при правильных обстоятельствах определители полезно сокращаются. В более общем случае сохраняется отношение определителей двух операторов, которое мы можем рассматривать, обобщая матричный результат $$\frac{\det \left(A+\epsilon\right)}{\det A}=\det \left(1+D\epsilon\right)\approx\exp\text{tr}D\epsilon$$ с$\epsilon$«маленького» к функциональному результату, $$\frac{\det \left(A+\epsilon\right)}{\det A}=\exp{\int d^D x D\epsilon}.$$ (На ваш вопрос "квадрат"$W^2:=W_\mu W^\mu$.) Заметим также, что части$\phi$на которой$\mathcal{O}$не зависит, не нужно интегрировать ни в числителе, ни в знаменателе. Точно так же мы можем «выбросить»$W$вместо этого при вычислении среднего значения переменной, от которой оно не зависит.

Амплитуда 4-х фермионов на уровне дерева, которую вы получаете, когда сворачиваете пропагатор в точку, представляет собой$J_\mu^+ J^{\mu ~-}$контактный член, 4-фермиевское взаимодействие 30-х гг.

С появлением функциональных интегралов для СМ стало легче понять УФ-происхождение этой низкоэнергетической эффективной теории. Соответствующая часть действия СМ, вносящая вклад в этот заряженный ток, равна

$${\cal L}_{eff}= m^2_W W_{\mu}^+ W^{\mu ~-}+ \frac{g}{\sqrt 2}( W_{\mu}^+ J^{\mu -} +W^{\mu ~-} J_\mu^+) +O(p^2/M_W^2).\tag{1}$$ Поскольку W s не имеют производных в этой части действия, они являются лишними полями с алгебраическими уравнениями движения и могут быть устранены путем прямого функционального интегрирования с их участием как переменных следующим образом.

Заполните сложный квадрат,

$${\cal L}_{eff} = m^2_W \left (W_{\mu}^+ +\frac{g}{\sqrt {2} m_W^2} J^{\mu~+}\right) \left(W_{\mu}^- +\frac{g}{\sqrt {2} m_W^2}J^{\mu~-} \right ) -\frac{g^2}{2m_W^2} J_{\mu}^{+} J^{\mu~-} .$$ Теперь обратите внимание, что первый член представляет сдвиг в определении W s, то есть они могут быть переопределены, чтобы поглотить текущие части; интегрированный по пространству-времени и застрявший в показателе функционального интеграла, первый член составляет два гауссиана, когда вы разрешаете его в исходный «новый», сдвинутый W ₁ , W ₂ ; функциональное интегрирование этих гауссианов относительно смещенного W s не оставляет следов W s в этой низкоэнергетической части интеграла по траекториям. Они были «интегрированы», согласно вашему вопросу.

Единственным полезным остатком их присутствия является «постоянный» (по мере W степеней свободы) второй член, взаимодействие ток-ток,$-\frac{2G_F}{\sqrt 2} J_{\mu}^{+} J^{\mu~-}$, где определено$G_F\sqrt 2 \equiv g^2/4m_w^2=2/v^2$. Обратите внимание, что вы получите тот же самый ответ из чисто алгебраических уравнений движения${\cal L}_{eff}$, а именно$W_\mu^{\pm}=-g J_\mu^{\pm}/\sqrt{2} m_w^2$; использование их для устранения W s приведет к такому же остаточному взаимодействию ток-ток.

(Кстати, в 1933 году это было, по сути, первое применение КТП: ее ключевое свойство создания и уничтожения видов фермионов.)

Совершенно аналогичная процедура, естественно, имеет место для амплитуд нейтрального тока, включающего Z - обмен, mutatis mutandis.

Эвристически есть два пути.

1. В электрослабом лагранжиане вы заменяете W его классическим решением. То есть вы находите уравнение Эйлера-Лагранжа для W, решаете его и подставляете решение к лагранжиану. При этом поля W «интегрируются».

2. Когда на диаграмме Фейнмана присутствует внутренняя линия бозона W, вы стираете ее. Например, древовидная диаграмма рассеяния электронов нейтрино включает W-пропагатор. Стирая его, вы получаете четырехточечную вершину фермионов. С точки зрения лагранжиана, у вас есть оператор четырех спиноров, который является оператором размерности 6. Его численный предфактор можно зафиксировать, сопоставив амплитуду рассеяния.