Отсутствие стабильных замкнутых орбит для ньютоновского гравитационного поля в пространственных измерениях d≠3d≠3d\neq 3

Подсказки:

1. Докажите, что угловой момент $L^{ij}:=x^ip^j-x^jp^i$сохраняется для закона центральной силы в$d$пространственные размеры,$i,j\in\{1,2,\ldots ,d\}.$

2. Поскольку понятие замкнутых орбит не имеет смысла для$d\leq 1$, будем считать впредь, что$d\geq 2$.

3. Выберите 2D-плоскость$\pi$через начало координат, параллельное векторам начального положения и импульса. Вывести (из уравнений движения$\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$и$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$), что точечная масса по-прежнему ограничена этой двумерной плоскостью$\pi$(известный как плоскость орбиты) на все времена$t$. Таким образом, задача по существу является 2+1 мерной с радиальными координатами$(r,\theta)$и время$t$. [Другими словами, окружающий$d-2$пространственные измерения сводятся к пассивным зрителям. Интересно, что этот аргумент по существу показывает, что заключение теоремы Бертрана не зависит от общего числа$d\geq 2$пространственных размеров; а именно вывод о том, что только центральные потенциалы вида$V(r) \propto 1/r$или$V(r) \propto r^2$имеют замкнутые стабильные орбиты.]

4. Сделать вывод, что лагранжиан$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 +r^2\dot{\theta}^2) -V(r)$.

5. Импульсы

   $$p_{r}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}~=~m\dot{r}$$ и $$p_{\theta}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}~=~mr^2\dot{\theta}.$$

6. Обратите внимание, что$\theta$является циклической переменной, поэтому соответствующий импульс$p_{\theta}$(которое является угловым моментом) сохраняется.

7. Выведите, что гамильтониан$H=\frac{p_{r}^2}{2m}+\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}+ V(r)$.

8. Интерпретация члена угловой кинетической энергии

   $$\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}~=:~V_{\rm cf}(r)$$ как центробежный потенциальный член в одномерном радиальном мире. См. также этот пост Phys.SE. Следовательно, проблема по существу 1 + 1 размерная$H=\frac{p_{r}^2}{2m}+V_{\rm cf}(r)+V(r)$.

9. С этого момента будем считать, что центральная сила$F(r)$является ньютоновской гравитацией. Показать через$d$-мерный закон Гаусса, что ньютоновская гравитационная сила в$d$пространственные размеры зависят от расстояния$r$как$F(r)\propto r^{1-d}$. (См. также, например, веб-страницу www.superstringtheory.com или Б. Цвибах, Первый курс теории струн, раздел 3.7.) Эквивалентно, ньютоновский гравитационный потенциал равен

   $$V(r)~\propto~\left\{\begin{array}{rcl} r^{2-d} &\text{for}& d~\neq~ 2, \\ \ln(r)&\text{for}& d~=~2. \end{array}\right.$$

10. Итак, по теореме Бертрана возможные измерения$d$для замкнутых устойчивых орбит с ньютоновской гравитацией:

    • $d=0$: закон Гука (который мы уже исключили посредством предположения$d\geq 2$).
    • $d=3$:$1/r$потенциала (стандартный случай).
    • $d=4$:$1/r^2$потенциал (подходящим образом переинтерпретированный как часть центробежного потенциала).

    Мы хотели бы показать, что последняя возможность$d=4$не приводит к замкнутым устойчивым орбитам.

11. Предположим отныне, что$d=4$. Обратите внимание на упрощающий факт, что в$d=4$, центробежный потенциал$V_{\rm cf}(r)$и гравитационный потенциал$V(r)$иметь точно такое же$1/r^2$зависимость!

12. Таким образом, если один из отталкивающих центробежных потенциалов$V_{\rm cf}(r)$и притягательный гравитационный потенциал$V(r)$доминирует, она и дальше будет доминировать, а значит, замкнутые орбиты невозможны. Радиальная координата$r$будет либо идти монотонно к$0$или$\infty$, в зависимости от того, какой потенциал преобладает.

13. Однако если отталкивающий центробежный потенциал$V_{\rm cf}(r)$и притягательный гравитационный потенциал$V(r)$просто получилось отменить на одну дистанцию$r$, они будут продолжать отменять на все расстояния$r$. второй закон Ньютона становится$\ddot{r}=0$. Отсюда замкнутая круговая орбита$\dot{r}=0$возможно. Однако эта замкнутая круговая орбита не устойчива к возмущениям лучевой скорости$\dot{r}$, в соответствии с теоремой Бертрана.

Четырехмерный случай содержит трехмерное пространство, поэтому замкнутые орбиты существуют, если они существуют в трех измерениях. Наоборот, если незамкнутые орбиты существуют в 3d, то, очевидно, они существуют и в 4d. Согласно теореме Бертрана, два единственных потенциала, которые в трех измерениях допускают устойчивые замкнутые орбиты, — это гармонический и ньютоновский, поэтому остается доказать, что в размерности 4 эти два потенциала допускают незамкнутые орбиты, для простоты я проведу расчет для ньютоновской, но доказательство для гармоники столь же простое.

Введение цилиндрических координат для$x,y$и$z,w$отдельно лагранжиан принимает вид:

Предполагая, что ОП спрашивает, закрыты ли орбиты для$\frac 1 {r^3}$-закон, то уместно указать, что это один из трех случаев, когда известен явный вид орбит. Это так называемые спирали Котеса — типичными примерами являются кривые вида$r \cos ((A \theta+\epsilon)=1$,$r \cosh(A \theta+\epsilon)=1$и гиперболические спирали (о которых см. Википедию). Это есть в «Началах» Ньютона.