проблема закона Кеплера

Question

проблема закона Кеплера

Прасад Мани

Две планеты А и В движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам с периодами времени $T_A$ и $T_B$ соответственно. Если эксцентриситет орбиты B равен ε, а расстояние наибольшего сближения с Солнцем равно R, то максимально возможное расстояние между планетами равно?

Попытка решения

Я думаю, что я почти там, но это то, что у меня есть до сих пор. Используя эксцентриситет и R, я нашел выражение для большой полуоси B как $R_{SB}$ "=" $\frac{R}{1-\epsilon}$ и используя отношение для периодов времени, у меня есть выражение для $R_{SA}$ "=" $[\frac{T_A}{T_B}]^{2/3}$ $\frac{R}{1-\epsilon}$ Теперь я сомневаюсь, следует ли предположить, что две планеты имеют солнце в одном и том же фокусе (скажем, с правой стороны ... изобразите концентрические эллипсы), и в этом случае максимальное расстояние будет, когда одна из них находится ближе всего к солнцу, а другая самая дальняя ИЛИ если две планеты имеют солнце в разных фокусах (одна слева, а другая справа, в этом случае орбиты частично перекрываются; в любом случае я не могу найти идеальное выражение для максимального расстояния!

Это два случая, которые я представляю, конечно, в 2D может быть гораздо больше ориентированных по-разному. На диаграмме слева максимальное расстояние — это когда оба находятся в апогее. На диаграмме слева это когда один находится в апогее, а другой в перигее. Можно ли найти выражение для расстояния, которое я могу дифференцировать, чтобы найти максимальное значение?

Ответ $\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}$ (1+( $\frac{T_A}{T_B})^\frac{2}{3})$ р

Сэмми Песчанка

Глядя на свой эскиз, как вы думаете, какой вариант дает максимально возможное разделение? Разве не очевидно, что LHS дает большее разделение? Конечно, вы можете сделать это математически, определив относительную ориентацию

θ

$\theta$ орбиты и позиции

ϕ_{1}, ϕ_{2}

$\phi_1, \phi_2$ каждой планеты на каждой орбите, написав выражение для квадрата расстояния между планетами, и минимизировать это относительно

θ, ϕ_{1}, ϕ_{2}

$\theta, \phi_1, \phi_2$ . Но это утомительно и не так убедительно, как диаграмма с геометрическим аргументом.

Ответы (2)

проблема закона Кеплера

Глядя на свой эскиз, как вы думаете, какой вариант дает максимально возможное разделение? Разве не очевидно, что LHS дает большее разделение? Конечно, вы можете сделать это математически, определив относительную ориентацию $\theta$ орбиты и позиции $\phi_1, \phi_2$ каждой планеты на каждой орбите, написав выражение для квадрата расстояния между планетами, и минимизировать это относительно $\theta, \phi_1, \phi_2$ . Но это утомительно и не так убедительно, как диаграмма с геометрическим аргументом.

Сэмми Песчанка · Answer 1

Сделайте набросок возможных относительных ориентаций двух орбит. Планеты будут иметь максимальное разделение, если их орбиты ориентированы с выровненными большими осями, но установлены на $180^{\circ}$ - т.е. апогеи по разные стороны от фокуса.

На приведенной выше диаграмме F является общим фокусом (Солнце), и две планеты могут находиться где угодно на эллиптических орбитах A и B. Удерживая фиксированной большую орбиту A, измените ориентацию орбиты B, вращая ее вокруг фиксированной точки F. Тогда планета B может лежать где угодно внутри круга C (заштрихована розовым цветом), а A может лежать где угодно на эллипсе A. Без каких-либо вычислений вы можете увидеть на глаз («осмотром»), что максимальное расстояние между планетами находятся на позициях $a$ и $b$ .

Расстояния $aF$ и $Fb$ являются апогеями орбит A и B. Апогеем B является $(1+\epsilon)R_{SB}$ где $R_{SB}=\frac{R}{1-\epsilon}$ является большой полуосью B. Пусть эксцентриситет орбиты A равен $\delta$ . Тогда апогей A равен $(1+\delta)R_{SA}$ где $R_{SA}$ является большой полуосью А. $R_{SA}$ относится к $R_{SB}$ по третьему закону Кеплера: $(\frac{T_A}{T_B})^2=(\frac{R_{SA}}{R_{SB}})^3$ . Таким образом, максимально возможное расстояние ab равно
$(1+\epsilon)R_{SB}+(1+\delta)R_{SA}=(1+\frac{1+\delta}{1+\epsilon}(\frac{T_A}{T_B})^{\frac23})\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}R$ .

Если мы предположим, что $\delta=\epsilon$ тогда вы получите выражение в своем ключе ответа, а именно. $(1+(\frac{T_A}{T_B})^{\frac23})\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}R$ . Однако в вопросе нет требования иметь $\delta=\epsilon$ . Максимально возможное значение $\delta$ может быть равно 1, что дает максимальное значение aF $2R_{SA}$ . Тогда максимально возможное расстояние ab равно $(1+\frac{2}{1+\epsilon}(\frac{T_A}{T_B})^{\frac23})\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}R$ .

Да, это правда, и я упомянул, что пробовал два случая, относящихся к этой ориентации, перед редактированием. Но он предполагает ориентацию самих орбит. Что я хочу найти, так это выражение для максимального расстояния между планетами, в которых нет указаний на ориентацию орбиты.
Конечно. Я знал это. Я просто не смог найти выражение для этого максимального расстояния, используя вышеуказанные переменные, а именно. большая полуось А и перигей, апогей (и, следовательно, большая ось В). И в вопросе ориентация двух орбит не указана друг относительно друга. Итак, если предположить (правильно) для случая, о котором вы упомянули, я бы получил один ответ. Но для другого случая (мой RHS) я бы взял еще один.
Вопрос стоит о максимально возможном разделении планет, т. е. о любой ориентации орбит.
Хорошо, не могли бы вы сказать мне, используя переменные, для которых я рассчитал выражения, каково будет максимальное расстояние? Потому что я не вижу этого без знания эксцентриситета А и его перигея и апогея
Используя геометрию эллипса, вы можете рассчитать расстояние $S$ от апогея до фокуса для каждой планеты, с точки зрения $\epsilon$ и расстояние закрытого подхода $R$ .
Вы знаете, что большая полуось неизвестной орбиты А равна $R_{SA}$ поэтому максимальное расстояние между A и S равно $2R_{SA}$ когда эксцентриситет орбиты A равен 1. (Тогда орбита A представляет собой прямую линию SA.) Тогда расстояние Fa на моей диаграмме равно $2R_{SA}$ .
Извините, ответ рассчитан из (2R $_{SA}$ +апогей Б ??) что неверно по ключу
Какой ответ дает ключ? Апогей Б $(1+\epsilon)R_{SB}$ .
Ответ, данный в ключе, предполагает, что орбита A имеет тот же эксцентриситет, что и орбита B. Это предположение не требуется для заданного вами вопроса. Эксцентриситет A может иметь любое значение от 0 до 1. Максимальное расстояние aF достигается, когда эксцентриситет A равен 1. Поэтому я думаю, что мой ответ правильный.
Окончательно! Спасибо. Вопрос, который я разместил, точно такой же, как он был задан. Думаю, они были более самонадеянными!

ДилитийМатрица · Answer 2

Центр масс находится в фокусе каждой орбиты. Если предположить, что Солнце намного массивнее любой из планет, то Солнце находится в фокусе обеих орбит. Но обратите внимание, что для данной эллиптической орбиты форма орбиты не меняется, если вы переключаете центр масс с одного фокуса на другой (он симметричен). Имейте в виду, что только потому, что Солнце находится в фокусе обоих, ориентация орбит не обязательно совпадает.

Пожалуйста, проверьте изменения, которые я сделал, у меня такое чувство, что я не был понятен в своем описании раньше
@PrasadMani Я думаю, вы делаете проблему более сложной, чем нужно. Никакая дифференцированная оптимизация вам не нужна --- по добавленной вами диаграмме уже можно вычислить "наихудший сценарий" (максимальные расстояния). Основываясь только на геометрии задачи, как можно выразить максимальное расстояние? (подсказка: сначала найдите положения каждой орбиты на максимальном расстоянии относительно общего фокуса).

проблема закона Кеплера

Прасад Мани

Сэмми Песчанка

Ответы (2)

Сэмми Песчанка

Прасад Мани

Прасад Мани

Сэмми Песчанка

Прасад Мани

Сэмми Песчанка

Прасад Мани

Сэмми Песчанка

Прасад Мани

Сэмми Песчанка

Прасад Мани

Сэмми Песчанка

Прасад Мани

ДилитийМатрица

Прасад Мани

ДилитийМатрица

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны

Движение, описываемое a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Как вывести соотношение обратных квадратов в законе тяготения Ньютона из законов Кеплера?

Закон Кеплера и моя проблема

Орбитальная механика: упадет ли спутник?

Отсутствие стабильных замкнутых орбит для ньютоновского гравитационного поля в пространственных измерениях d≠3d≠3d\neq 3

Устранение путаницы в орбитальной механике

В каком направлении нужно бросить однородный шар массой 1 кг, чтобы вывести его на более низкую околоземную орбиту? [закрыто]

Понимание закона Кеплера 2nd2nd2^{nd} с точки зрения сохранения углового момента

Можно ли по уравнению эллиптической орбиты найти скорость спутника в определенной точке?