Математически докажите, что круглое колесо катится быстрее, чем квадратное.

Центр массы

Центр масс однородной сферы/диска расположен в центре этой сферы/диска (это может показаться тривиальным, но это верно только для случаев, когда распределение массы сферически симметрично). Центр масс можно рассматривать как коллективное представление всего тела в виде одной точки (обратите внимание, что это не совсем так, но для наших целей это поможет в построении некоторой базовой интуиции). Точно так же центр масс однородной кубической/квадратной пластины находится в центре кубической/квадратной пластины.

Гравитационно потенциальная энергия

Гравитационная потенциальная энергия объекта определяется выражением

где$m$это масса тела,$g$ускорение свободного падения и$h_{\text{COM}}$это высота центра масс. В уравнении$(1)$, мы приняли, что потенциальная энергия равна$0$на уровне земли, т.$h_{\text{COM}}=0$. Теперь, чтобы поднять тело так, что его центр масс перемещается на высоту$h_1$на высоту$h_2$, нам нужно совершить некоторую работу, равную изменению потенциальной энергии тела:

Катящаяся площадь

Как вы можете видеть в GIF ниже, катящийся квадрат имеет своего рода шаткое вращательное движение. Шатается в том смысле, что его центр масс поднимается и опускается, поднимается и опускается, и так далее.

^{Источник анимации}

Итак, как мы рассчитали выше, нам нужно проделать некоторую работу, чтобы поднять центр масс квадрата на высоту (есть определенный угол,$45^{\circ}$в этом случае, до которого вам нужно вращать квадрат, если вы хотите, чтобы он катился. Если вы повернете квадрат на меньший угол, то квадрат упадет назад). И как только центр масс достигает максимальной высоты, он сам падает на другую сторону, и кинетическая энергия, полученная квадратом во время падения, рассеивается в виде звуковой и тепловой энергии из-за неупругого характера столкновения квадрата с земля. Теперь вам снова придется поднять центр масс квадрата, чтобы заставить его катиться. Этот процесс постоянно включает передачу энергии для подъема центра масс, а затем потерю энергии из-за падения квадрата на землю. И это очень затрудняет скатывание квадрата.

Почему он испытывает неупругие столкновения?

Квадрат склонен терять больше энергии из-за неупругих столкновений по сравнению с круглым диском из-за большей площади поверхности, которая соприкасается с землей. Это похоже на случай с велосипедной шиной. Когда шина накачана, она имеет сферическую форму и, следовательно, имеет меньший контакт с землей, что приводит к меньшим потерям энергии, тогда как спущенная шина имеет большую площадь контакта с землей, что делает ее более склонной к неупругим столкновениям.

Катящийся круг

Когда круг/сфера катится, высота центра масс остается неизменной на протяжении всего движения из-за симметрии формы. Вы также можете увидеть это в GIF ниже.

^{Источник анимации}

Это означает, что никакая энергия, которую мы выделяем, не тратится впустую на изменение высоты центра масс. И вся энергия расходуется на ускорение сферы/круга, что позволяет нам с легкостью катить его быстрее.

Почему его центр масс остается на той же высоте?

Ради строгости давайте докажем, что круг — единственная двумерная фигура, обладающая тем свойством, что ее центр масс остается на той же высоте, когда он катится. Сначала предположим, что существует другая фигура (не круг), которая также обладает этим свойством. Это означает, что независимо от того, как вы положите эту фигуру на землю (конечно, мы не можем просто положить ее горизонтально), центр масс всегда будет оставаться на постоянной высоте. Это означает, что расстояние между землей и центром масс всегда будет одинаковым. Отсюда следует, что расстояние между граничной точкой, касающейся земли, и центром масс всегда будет одинаковым. Однако это верно для всех граничных точек, так как все граничные точки могут касаться земли (опять же мы принимаем выпуклую форму). Это означает, что все граничные точки находятся на одинаковом расстоянии от центра масс. Это означает, что граничные точки лежат на окружности с центром в центре масс тела. Таким образом, желаемая форма может быть не чем иным, как круглым диском.

Момент инерции

Здесь также играет роль момент инерции . Можно показать, что для данной постоянной площади любой двумерной формы круглый диск будет иметь самый низкий момент инерции (при условии, что все формы сделаны из одинаковых материалов / плотности). Это означает, что свернуть круглый диск будет немного проще, чем любую другую двумерную форму. Аналогичный аргумент справедлив для трехмерных форм, однако здесь мы будем поддерживать объем (трехмерный аналог площади) постоянным, изменяя форму. Но здесь теоретически цилиндр с бесконечно малым радиусом и бесконечно большой длиной будет иметь наименьший момент инерции.

Приложение

Для специальных поверхностей вы даже можете заставить квадрат вращаться как сферу. См. GIF ниже.

^{Источник анимации}

Как видите, если мы используем поверхность, состоящую из перевернутых кривых контактной сети , мы можем даже сделать квадратный виток. Чтобы понять, почему это так, вы можете проверить вывод здесь .

Кроме того, как предполагает этот ответ, кривые постоянной ширины также являются хорошими кандидатами, когда дело доходит до прокатки. Строго говоря, круг — не единственная фигура, которая может катиться по плоской поверхности. Однако это намного лучше, чем квадрат, когда дело доходит до прокатки.

В идеальном состоянии без проскальзывания мяч продолжает катиться вечно после первоначального удара или толчка. После того, как он катится, вам не нужно прикладывать внешнюю силу, вам не нужна внешняя энергия.

Блок не может продолжать вращаться. Чтобы он вращался, нужно поднять центр масс вверх на$\frac{\sqrt{2}-1}{2} a$($a$длина стороны), что требует$\frac{\sqrt{2}-1}{2} mga$энергия. После того, как вы повернете его на 45 градусов, он может перевернуться на другую сторону, сдвинувшись еще на 45 градусов. Когда блок падает на землю, он теряет свою кинетическую энергию, превращаясь в тепловую энергию, и его снова нужно поднимать.

С энергетической точки зрения, одному вообще не нужна энергия, в то время как другому требуется конечное количество энергии в каждом цикле. Это разница между конечным и никаким . Как вы упомянули, если вы продолжаете толкать их с той же силой, мяч будет продолжать ускоряться. Попытка ускорить блок будет очень неприятной. Таким образом, с точки зрения скоростей в долгосрочной перспективе, они имеют разность скоростей, равную бесконечной (забудьте пока об Эйнштейне) и конечной .

Как сравнить бесконечное и конечное? Как вы сравниваете конечное и никакое?

Допустим, у меня есть эти объекты одинакового размера...

Первый встречный вопрос: что означает «равный размер»?

• Диаметр круга равен длине ребра квадрата
• Квадрат и круг имеют одинаковую площадь

Математически докажите, что круглые предметы катятся быстрее

Даже на первых 90 градусах, когда у нас нет столкновений (см. ответ Дэвида Брауна), круг быстрее:

Предположим, что длина ребра квадрата равна$a$.

Тогда момент инерции квадрата, вращающегося вокруг своего края, равен:

Время, необходимое для того, чтобы квадрат повернулся на угол$\alpha$теперь можно рассчитать как:

Символы имеют следующее значение:

Давайте посмотрим только на время, необходимое для первых 90 градусов поворота, что означает, что квадрат перемещается на расстояние$a$:

Теперь давайте посмотрим на круг с той же площадью, что и у квадрата:

Это означает, что радиус этой окружности равен$r=\frac{a}{\sqrt\pi}$.

Момент инерции равен$J=\frac32mr^2=\frac3{2\pi}ma^2$. Круг должен повернуться на угол$\alpha=\sqrt\pi$переместиться на расстояние$a$.

Таким образом, время, необходимое для перемещения на расстояние$a$является:

И теперь мы можем сравнить необходимое время:

Это означает, что кругу требуется меньше времени, чтобы пройти расстояние$a$.

Круглые объекты не самые быстрые.

Любая другая гладкая выпуклая форма может катиться быстрее, чем круг. В качестве случайного примера, эта фигура (изображение найдено в Викимедиа) может катиться быстрее, чем круг:

Запустите его в показанной ориентации. Это ориентация, при которой его центр масс находится выше всего. Тогда он, как правило, будет катиться быстрее, чем круг, из-за преобразования части своей потенциальной энергии в кинетическую энергию. Только в те моменты, когда его центр масс возвращается на исходную высоту, он будет двигаться так же медленно, как круг.

Даже ваш пример квадрата будет двигаться быстрее, чем круг, если вы замените плоские стороны слегка выпуклыми сторонами и слегка закруглите углы и повернете его на 45 °, чтобы он начал «стоять на углу».

Математически круг — это уникальная форма наименьшего периметра замкнутой области . Следовательно, поскольку каждый раз, когда он вращается, он проходит расстояние, равное его периметру, для его вращения требуется меньше времени, чем для любой другой формы.

Вместе с тем фактом, что ось никогда не перемещается вверх и вниз, это означает, что для перемещения требуется наименьшее усилие (в идеальных условиях).

Есть два различия между кругом и квадратом, которые вызывают. Первый – момент инерции. В свободном пространстве заданный крутящий момент на квадрате и колесе не даст вам одинакового углового ускорения. Уравнение: Крутящий момент = Момент инерции X угловое ускорение. Момент инерции можно рассчитать или найти в таблице.

Тем не менее, основная причина, по которой существует разница между двумя колесами, заключается в том, что когда вы переходите от вращения вокруг одной вершины к другой вершине, происходит огромная потеря энергии, когда вы каждый раз врезаете квадратную шину в землю. время, когда он лежит одной стороной параллельно земле. Затем импульс и отскок переносят его, когда он вращается над следующей вершиной.

Если вы на мгновение забудете о внешнем крутящем моменте и рассмотрите, что происходит, когда вы переключаете точку вращения, вы увидите, что вам в основном нужно взять объект, центр масс которого движется по диагонали вниз и вперед к движению с центром масс. двигаться вверх и вперед. Для этого вам нужно приложить силу в точке контакта, которая уменьшит поступательный импульс квадратного колеса. Проблема в том, что любое точное решение будет зависеть от множества предположений о том, как происходит переход от вращения вокруг одной вершины к другой. Каждое предположение даст вам другой ответ. Нет "универсального" ответа. Это будет зависеть от свойств вашей шины.

Реалистичное решение, вероятно, потребует моделирования методом конечных элементов, чтобы увидеть, как шина деформируется при ударе о землю, что может привести к потере энергии из-за гистерезиса, если шина сделана из резины. Но даже для абсолютно жестких колес будет некоторая потеря импульса.

Один из подходов, который может сработать, состоит в том, чтобы предположить, что существует некоторый коэффициент, описывающий, сколько энергии вы теряете на каждом «шаге», когда падаете на землю. Вычисление этого коэффициента из первых принципов, вероятно, не требуется для вашей цели.

Хорошее обсуждение всего этого можно найти в Mcdonald, Kirk. (2008). Шестиугольный карандаш, катящийся по наклонной плоскости. Регулярная и хаотическая динамика. 13. 332-343. 10.1134/S1560354708040072. Похоже, что он доступен бесплатно у автора по адресу http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/pencil.pdf . Это относится в основном к шестиугольникам, но рассматриваются и другие формы, и основные понятия остаются прежними.

Кстати, не знаю, вдохновились ли вы этим, но Разрушители мифов сделали квадратные колеса. https://www.youtube.com/watch?v=CIN8Q_4iaxU в настоящее время работает, но соответствующий поиск в Google может показать, что произошло, если ссылка не работает.

Пренебрегая потерями энергии, поместим каждый круг и квадрат на отдельную наклонную плоскую линию с центрами масс на равной высоте над горизонтальной поверхностью земли. Квадрат лежит на одной из его сторон, и угол наклона обеих линий (которые являются опорными линиями для будущих углов) равен$\frac{1}{4}\pi$(или чуть выше).

Сравнить линейные скорости 2d-квадрата и 2d-колеса, опирающихся на линию в гравитационном поле, когда действует сила (в данном случае обеспечиваемая гравитацией, одинаковая как для колеса, так и для квадрата: направленная параллельно наклонная линия со значением$\sqrt{\frac{1}{2}}\times 10=7N$) на них, логично считать, что квадрат и колесо имеют одинаковую массу,$m$(и плотность массы). Это условие означает, что каждая сторона квадрата,$S_s$, является$\sqrt{\pi}$умноженный на радиус колеса,$R_w$. то есть$S_s=\sqrt{\pi}R_w$. Половина диагонали квадрата,$D$, имеет значение$D=\sqrt{\frac{1}{2}\pi}R_w$.

Полезные формулы:

Моменты инерции колеса и квадрата (квадрат вращается вокруг оси, перпендикулярной одной из его угловых точек, в то время как квадрат вращается вокруг мгновенных точек контакта, поэтому мы можем использовать теорему о параллельной оси ) :
$I_w=(\frac{1}2+1)m{R_w}^2=\frac{3}{2}m{R_w}^2$
$I_s=(\frac{1}{6}+\frac{\pi}{2})m{S_s}^2=(\frac{1}{6}+\frac{\pi}{2})\pi m{R_w}^2$

Крутящие моменты для колеса и квадрата (сила тяжести, действующая на ЦМ колеса и квадрата):
$\vec{\tau}_w=-\vec{F_g}\times \vec{R_w}$были оба$-\vec{F_g}$и$\vec{R_w}$начинаются в точке контакта между линией, на которой они находятся, и колесом и всегда перпендикулярны друг другу. (Псевдо) вектор$\vec{\tau}_w$указывает на экран, а его длина равна$7mR_w$.
$\vec{\tau}_s=-\vec{F_g}\times\vec{D}$, где$-\vec{F_g}$и$\vec{D}$начните в точке контакта между квадратом и линией. В этом случае оба вектора имеют угол$\theta$между ними варьируется между углами$\frac{1}{4}\pi$и$\frac{3}{4}\pi$. Снова (псевдо)вектор крутящего момента указывает на экран, и его длина равна$7m\sqrt{\frac{1}{2}\pi} R_w sin\theta$. Интеграл$sin\theta$между углом$\frac{1}{4}\pi$и угол$\frac{3}{4}\pi$является$1,4$поэтому крутящий момент уменьшается до$7m\sqrt{\frac{1}{2}\pi} R_w 1,4$.
Таким образом, крутящий момент, действующий на квадрат${\tau}_s$около$1,75=1,25(=\sqrt{{\frac{1}{2}}{\pi}})\times 1,4$так же велик, как крутящий момент на колесе${\tau}_w$:${\tau}_s= 1,75{\tau}_w$

Сейчас,$I_s=3,6I_w$

Итак, для величины углового ускорения колеса и квадрата имеем:
1)${\omega}'_w=\frac{\tau_w}{I_w}$
2)${\omega}'_s=\frac{1,75\tau_w}{3,61{I_w}}=0,48 {\frac{{\tau}_w}{I_w}}$

И круг, и квадрат удерживаются на месте каким-то устройством (вы можете сами подумать, как это делается), которое отпускает их нажатием на кнопку. Это необходимо, потому что ясно, что круг начинает двигаться уже тогда, когда линия немного наклонена относительно горизонтальной линии.

Теперь нажмите кнопку. Центр масс квадрата будет перемещаться по контактной кривой, как показано в первом ответе выше (с красивой графикой), с той разницей, что контактная линия имеет угол 45 градусов с горизонтом, поэтому центр масса никогда не движется вверх. Он движется на 45 градусов по окружности радиусом$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$умноженный на радиус круга (половина диагонали квадрата) между 0 градусами по горизонтали и 45 градусами вниз (параллельно наклонной линии). После чего повторяется та же четверть круга.

Может быть ясно, что когда мы сравниваем угловые ускорения колеса (уравнение 1) выше) и квадрата с той же массой (уравнение 2 выше), угловое ускорение колеса почти в два раза больше, чем это для квадрата, поэтому колесо прибывает первым по линии.
В автомобилях используются колеса вместо квадратов, потому что колеса имеют форму, обеспечивающую максимальную угловую скорость при том же крутящем моменте. И, таким образом, проще всего придать автомобилю линейную скорость с помощью какого-либо механизма преобразования. Для достижения определенной скорости автомобилю с колесами требуется меньше топлива.

В качестве отступления предположим, что линия, поднятая на 45 градусов, преобразуется в контактную кривую, как показано в первом вопросе. В этом случае колесо и круг поменяются местами в вопросе о том, какой из них прибывает первым (и, следовательно, имеет наибольшую линейную скорость). Совершенно очевидно, что для большинства произвольно сформированных масс такой цепной линии не существует. Это всего лишь очень небольшое подмножество двумерных фигур, таких как многоугольники или круги, к которым приклеены равные равные части кругов.

Мне очень понравились ответы FakeMod и LukeЛЮ. Это расширение и обобщение.

Давайте придерживаться идеализированных форм и предположим, что не вводится никакой дополнительной энергии, кроме той, которая необходима для начала движения.

Когда вы поднимаете квадрат, чтобы он встал на угол, он не будет автоматически продолжать катиться. Он должен использовать часть своей энергии, чтобы пройти мимо этой точки. Это потому, что угол — это особая точка, соответствующая точке перегиба (метастабильное равновесие) в PE. Эта потенциальная кривая будет иметь ряд таких точек, как квадратные валки. В силу симметрии для однородного тела все эти точки перегиба эквивалентны в том смысле, что форма потенциальной кривой «вблизи» локального экстремума одинакова.

Точно так же, чтобы плоские поверхности продолжали катиться, энергия должна расходоваться, чтобы пройти дальше, и по мере прохождения через каждую точку она будет терять энергию (только здесь потенциальная потеря глубже). Таким образом, PE будет уменьшаться, замедляя и в конечном итоге останавливая квадрат. двигаться дальше.

Для окружности такой точки перегиба нет. Все точки на поверхности эквивалентны, а поскольку особой точки нет, экстремума нет. Начав катиться, он будет продолжать катиться без какой-либо дополнительной силы. (Ньютон 1)

Мы можем распространить этот аргумент на многоугольники. Срежьте каждый угол на одинаковую величину, тогда не только каждая вершина будет соответствовать точке изгиба, но и каждая из новых плоских поверхностей, которые мы создали. Опять же по симметрии, но в каждой точке перегиба энергия теряется, но теряется она быстрее.

[Если вы продолжите этот процесс до тошноты, вы не получите круг! Поскольку группа, представляющая перемещения окружности, непрерывна, SO(2), а группа, представляющая перемещения n-угольника, конечна (D2n), вы не получите той же динамики.]

Используя аналогичные рассуждения, мы можем рассмотреть n-мерные аналоги, но мы должны быть осторожны: например, цилиндр в 3D имеет предпочтительную ось (его длину) и не является аналогом круга в этом смысле, однако 3-сфера есть и будет иметь подобную динамику, поскольку не имеет непрерывной симметрии.

Ваш вопрос ничего не говорит о наличии или отсутствии гравитационного или другого потенциального поля, которое, как я предполагал, существует. Если нет такого поля и нет потерь, то конечно ваши объекты будут катиться вечно.

Скорость, с которой перемещаются объекты, конечно же, зависит от приложенного импульса. Однако с потенциальным полем даже в условиях отсутствия трения все n-угольники потеряют энергию и остановятся из-за потерь в PE.

Есть фактор, о котором я не думаю, что кто-либо упомянул до сих пор. Было отмечено, что при вращении квадрата он колеблется вверх и вниз. При движении вверх сила обеспечивается крутящим моментом, приводящим его в движение. Сила, необходимая для ускорения квадрата вверх, будет зависеть от скорости его вращения. Чем быстрее вращение, тем больше требуется силы. При движении вверх можно предположить, что эта сила может быть обеспечена крутящим моментом, вызывающим вращение. Однако при движении вниз сила создается за счет силы тяжести. Это, очевидно, ограничено гравитационной постоянной. Так как квадрат вращается быстрее, наступит момент, когда силы тяжести будет недостаточно, чтобы удерживать его в контакте с землей. В этот момент крутящий момент на квадрате больше не будет преобразовываться в движение вперед. Таким образом, выше этого предела, даже при условии отсутствия потерь из-за неупругих столкновений,

Если вы допускаете эксцентричную звездчатую ступицу, такую ​​​​как двигатель Ванкла, то ни один из них не имеет движущегося центра масс. Квадрат будет изнашиваться быстрее из-за неравномерной нагрузки (та же проблема, что и уплотнения двигателя Ванкла).

Я думаю, что в идеальных условиях квадрат и круг катятся С ОДНОЙ СКОРОСТЬЮ. Причина этого в том, что в реальной жизни круг будет катиться быстрее, чем квадрат из-за трения: кинетическая энергия квадрата будет теряться быстрее, чем энергия круга из-за его формы, и переходить в тепловую энергию. Но в идеальных условиях, без трения, нет никакой причины, по которой квадрат катится медленнее, чем круг, за исключением случаев, когда энергия, которую вы прикладываете к нему, меньше, чем необходимо, так что он переворачивается на 45 градусов, но если это не так, потенциальная энергия будет переходить в кинетическую энергию и наоборот навсегда, перемещая квадрат менее регулярно, но в среднем, равном кругу. Я думаю, что этот вопрос является интуитивным вопросом о том, как все происходит в «идеальных условиях».

В центре этих объектов я добавляю равный положительный угловой момент (достаточный, чтобы квадратная шина двигалась вперед).

Вы не применяете крутящий момент в центре, в одной точке. Требуется не менее двух точек. Это важная деталь. Потому что вторая сила, приложенная к объекту, является силой трения. Эта сила трения будет разной для круглых и квадратных колес. При другой силе трения объект будет испытывать другой импульс и получит другой поступательный импульс (импульс будет связан с разницей между силами трения и тяги, умноженной на время)

Для круглого колеса сила трения будет меньше, потому что требуется меньший крутящий момент, чтобы заставить круг двигаться и вращаться. Эту разницу можно вычислить, учитывая момент инерции.

Расчет по моменту инерции

Момент инерции вокруг центра для квадрата и круга:

Как видно на изображении ниже, для заданной скорости в центре и данного вращения квадрат не имеет постоянной скорости в горизонтальном направлении (что будет сопровождаться изменениями трения и отскока, но давайте предположим идеальную ситуацию, когда это не приводит к диссипации энергии).

Мы можем вычислить среднюю скорость, связав длину окружности колеса ($4D$для площади и$\pi D$на раунд).

Таким образом, относительное отношение средней горизонтальной скорости$v_h$а угловая скорость будет

Квадрат движется быстрее, чем эта скорость, потому что он делает более длинный путь. На расстоянии$D$в горизонтальном направлении (одна четверть поворота) он следует по пути в 1 четверть окружности с радиусом$\sqrt{0.5}D$и длина$\sqrt{1/8} \pi D$.

Таким образом, для заданной поступательной скорости$v_h$необходимая энергия

Таким образом, чтобы переместить квадрат с определенной средней горизонтальной скоростью, вам потребуется больше энергии. Эта разница была рассчитана выше с учетом энергии, но механизм представляет собой разницу в силе трения между колесом и поверхностью (разницы, которая должна соответствовать разнице количества движения в горизонтальном направлении). Если квадратное колесо тянется за центр, и от этого происходит вращение плюс поступательное движение, то это должно совпадать с силой трения внизу. Это трение будет больше для квадратного колеса, чем для круглого.

Обобщение

^{В разработке. Приведенный ниже анализ игнорирует гравитацию. Этот член можно было бы легко добавить в последнее выражение, но нужно посмотреть, как это повлияет на заключение.}

Рассмотрим любые круглые (выпуклые) объекты однородной плотности и опишем их радиусом (расстоянием края от ЦМ) как функцией угла$r(\phi)$.

Имеем следующие отношения.

Для окружности

положение как функция угла$x(\varphi)$

пройденный путь как функция угла

момент инерции (при условии однородного распределения плотности)

Используя вышеизложенное, мы можем выразить скорость$v = \frac{\text{d}s}{\text{d}t}$по угловой скорости$\omega = \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}$а также горизонтальная скорость$v_h = \frac{\text{d}x}{\text{d}t}$по угловой скорости

Тогда мы можем выразить кинетическую энергию (разложенную на прямолинейное движение и вращение) через$v_h$.

Для круглого колеса член в скобках равен$2$такой, что$E_{kinetic} = m v_h^2$. Для других форм$\bar{r^3}/\bar{r}$срок будет выше, поэтому для вращения с определенной горизонтальной скоростью требуется больше энергии.$v_h$.