Математическое ожидание энтропии запутанности составной системы в случайном чистом состоянии

Я пытаюсь вычислить ожидаемое значение энтропии запутанности составной системы в случайном чистом состоянии, но у меня возникают некоторые проблемы.

Рассматриваемая нами система состоит из двух подсистем ЧАС "=" ЧАС А ⊗ ЧАС Б с размерами Н А и Б . Предположим, что система А является меньшей из двух: Н А ≤ Н Б . Мы рассматриваем случайные чистые состояния | ψ ⟩ е ЧАС они генерируются следующим образом:

Для основы { е я } из ЧАС А и основа { ф Дж } из ЧАС Б мы пишем

| ψ ⟩ => ∑ я "=" 1 Н А ∑ Дж "=" 1 Н а Ψ я Дж | е я ⟩ ⊗ > | ф Дж ⟩ .
Ψ я Дж можно рассматривать как координаты точки на единичной сфере С Н А Н Б − 1 в С Н А Н Б . Итак, для каждого ψ на единичной сфере есть соответствующая точка. Именно эта точка выбирается равномерно случайным образом.

Эквивалентно мы можем построить случайные состояния как U | ψ ⟩ где U — случайная унитарная матрица, выбранная с помощью меры Хаара.

Приведенная матрица плотности A равна р А "=" Тр Б | ψ ⟩ ⟨ ψ | с соответствующей энтропией запутанности С А ( ψ ) "=" − Тр р А бревно ⁡ р А .

Я хочу вычислить ожидаемое значение С А , заданный

Е ( С А ) "=" ∫ С ( Н А Н Б − 1 ) г о ( ψ ) С А ( ψ ) ,
где г о ( ψ ) равномерная мера на единичной сфере С ( Н А Н Б − 1 ) .

Я пробовал две разные вещи:

Используя разложение Шмидта

Каждое состояние ψ можно разложить по Шмидту: существуют ортонормированные семейства { е 1 , е 2 , . . . , е Н А } е ЧАС А и { ф 1 , ф 2 , . . . , ф Н А } е ЧАС Б и действительные числа с 1 , с 2 , . . . , с Н А ≥ 0 с ∑ я с я 2 "=" 1 такой, что

| ψ ⟩ "=" ∑ я "=" 1 Н А с я | е я ⟩ ⊗ | ф я ⟩ .
Энтропия запутанности в этом случае определяется выражением С А ( ψ ) "=" ∑ я с я 2 бревно ⁡ с я 2 .

Я думал, что смогу сгенерировать случайное состояние, взяв случайную декомпозицию Шмидта, под которой я подразумеваю взять все с я равномерно с ∑ я с я 2 "=" 1 , возьмем случайный ортонормированный базис ЧАС А (используя случайную унитарную матрицу с мерой Хаара для генерации матрицы из некоторого фиксированного базиса) и случайное ортогональное семейство в ЧАС Б (снова используя случайную унитарную матрицу U с мерой Хаара, чтобы сгенерировать ее, но, поскольку мы будем заботиться только о Н А first colums, я думаю, мне следует каким-то образом адаптировать меру, чтобы компенсировать это).

Однако я боюсь, что это неверно: я не завишу от выбора ортонормированных семейств, поэтому при вычислении среднего значения интегралы по унитарным матрицам будут просто тривиальны. Итак, мой первый вопрос: совпадают ли мои «случайные разложенные по Шмидту состояния» с (нормальными) случайными состояниями? А если нет, то почему?

Узнав равномерную меру на единичной сфере

Моя вторая попытка (которую я еще не завершил) заключалась в том, чтобы просто использовать равномерную меру на единичной сфере, как описано выше.

Используя это, я мог бы дать плотность вероятности р А "=" Ψ Ψ † и тогда я мог бы написать р А "=" U Λ U † с U некоторой унитарной матрицей и Λ "=" диаг ( п 1 , п 2 , . . . , п Н А ) . Затем я мог бы дать плотность вероятности для Λ как

п ( п 1 , п 2 , . . . , п Н А ) "=" ∫ г о ( U ) п ( U Λ U † )
где г о ( U ) является мерой Хаара. Но я немного застрял с этим.

Как только я найду это, я могу заменить ожидаемое значение как

Е ( С А ) "=" − ∫ г п 1 г п 2 , . . . г п Н А п ( п 1 , п 2 , . . . , п Н А ) ∑ я п я бревно ⁡ п я

Мой второй вопрос: это правильный способ сделать это? Может ли кто-нибудь помочь мне с параметризацией Ψ через углы на единичной сфере или другим способом получить п ( п 1 , . . . , п Н А ) и, может быть, некоторые из последующих интегралов?

Я нашел кое-что в этой статье , но большинство шагов мне немного неясны.

Должен ли такой вопрос быть размещен на бирже математического стека? Я разместил его там, так как на самом деле это технический вопрос по математике, и в нем не так много физики. Я должен удалить это здесь?

Usnig вместо использования. Извини ...
@igael, ты знаешь, что можешь отредактировать мой вопрос, верно?
смущен 2 очками возмездия :)

Ответы (2)

Средняя энтропия части состояния вычисляется, например, в следующих статьях:

http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.71.1291

http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.72.1148

http://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.52.5653

http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.77.1

(См. также http://arxiv.org/abs/quant-ph/0407049 , откуда взяты эти ссылки.)

Я нашел эти статьи, но я не понимаю, как они получают п ( п 1 , . . . , п Н А ) и как они вычисляют интеграл к обетину Е ( С А ) .

Я не уверен, что вы имеете в виду, когда выбираете случайное чистое состояние равномерно.
Вы хотите:
а) Каждый | Ψ ⟩ выбирается равномерно в ЧАС , так | Ψ ⟩ "=" 1 Н А Н Б ∑ я "=" 1 Н А ∑ Дж "=" 1 Н Б | е я ⟩ ⊗ | ф Дж ⟩ и р "=" | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |
б) Матрица плотности выбирается равномерно в каждом чистом состоянии, поэтому р "=" 1 Н А Н Б ∑ я "=" 1 Н А ∑ Дж "=" 1 Н Б | е я ⟩ ⊗ | ф Дж ⟩ ⟨ е я | ⊗ ⟨ ф Дж |
c) Как я понял из ваших двух подходов, вы действительно хотите | Ψ ⟩ выбираются равномерно, но случайно из ЧАС , верно? (Думаю, я просто хотел убедиться, что есть различие между равномерным выбором и равномерным случайным выбором...) Если да, то посмотрите мои ответы ниже.

На ваши вопросы:
Декомпозиция Шмидта: Вот мне непонятно, как определить вероятностную меру вашего состояния, чтобы получить равномерное распределение, так как выбор базисных векторов для декомпозиции не столь прозрачен.
Сфера Блоха: я не совсем понял, кого вы выберете для построения этой унитарной матрицы U р А и от чего зависит вероятность P?

Я бы сделал следующее:
использовал базис Кронекера.

ЧАС "=" ⟨ { е 1 ⊗ ф 1 , е 1 ⊗ ф 2 , . . . , е 1 ⊗ ф Н Б , е 2 ⊗ ф 1 , . . . , е Н А ⊗ ф Н Б } ⟩ "=" ⟨ { Ψ 1 , . . . , Ψ Н А Н Б } ⟩
"=" { ∑ я "=" 1 Н А Н Б а я Ψ я   | ∑ я "=" 1 Н А Н Б | а я | 2 "=" 1 } "=" { ∑ я "=" 1 Н А Н Б а я Ψ я   | а "=" ( а 1 , . . . , а Н А Н Б ) е С Н А Н Б − 1 } .
Итак, для случайного равномерного выбора элемента из ЧАС Я бы понял равномерный выбор а "=" ( а 1 , . . . , а Н А Н Б ) е С Н А Н Б − 1 , поэтому используйте a как случайную величину со значениями в С н ( н "=" Н А Н Б − 1 ) и измерить г мю ( а ) "=" 1 | С н | г Ом н где | С н | площадь n-мерной сферы и г Ом н обычный объемный элемент этого. Тогда матрица приведенной плотности представляет собой некоторую комбинацию а к , и вам придется искать его собственные значения { λ я ( а ) } я "=" 1 Н А чтобы рассчитать С А ( а ) "=" − ∑ я "=" 1 Н А λ я ( а ) л о г λ я ( а ) . Формула для ожидаемого значения энтропии будет тогда
Е [ С А ( а ) ] "=" ∫ С н С А ( а ) г мю ( а )
где интеграция теперь довольно беспорядочна, в зависимости от того, что вы получаете для собственных значений.

Имеет ли это смысл?

Я действительно имею в виду случайные состояния, равномерно выбранные случайным образом на единичной сфере в С Н . Я исправлю это в своем вопросе, спасибо, что указали на это.
Почему матрица приведенной плотности должна быть верхнетреугольной? Матрица плотности как всегда эрмитова.
О да, вы правы, извините, я не был достаточно осторожен. Я изменю это выше. Надеюсь теперь правильно.
Большое спасибо за объяснение, но я думаю, что ваш ответ более или менее переформулирует мой вопрос. Может быть, я недостаточно ясно выразился о том, что у меня уже есть. Моя проблема на самом деле найти отношение γ я ( а ) и вычисление упомянутого интеграла.
Хорошо, извините за это. Я надеялся, что конкретный подход может помочь.
Что ж, было еще как-то полезно получить подтверждение того, как с этим справиться.
Математическое ожидание энтропии запутанности составной системы в случайном чистом состоянии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v