Какую информацию дает энтропия фон Неймана для смешанных состояний?

Question

Какую информацию дает энтропия фон Неймана для смешанных состояний?

Андреа Пако

Энтропия фон Неймана определяется как

С "=" - Т р (р п р)

$S=-\mathrm{Tr}\left(\rho \ln\rho\right)$ Его можно использовать для измерения запутанности между двумя подсистемами при условии, что вся система находится в чистом состоянии.

1) Какую информацию дает энтропия фон Неймана, если вся система находится в смешанном состоянии? Как кратко объяснил Норберт Шух в посте Насколько полезна энтропия запутанности? он должен «измерять классическую энтропию подсистемы, классические корреляции с другой системой и запутанность». Может ли кто-нибудь привести пример и более глубокое объяснение?

2) Если кто-то хочет вычислить запутанность между двумя подсистемами системы, находящейся в смешанном состоянии, какую меру следует использовать? Я предполагаю, что такая мера должна, конечно, отфильтровывать классический (т.е. чисто статистический) беспорядок. Это правильно?

анон1802

Что касается вашего второго вопроса, то для смешанных состояний критерий Переса-Городецкого обеспечивает необходимый, но не достаточный критерий сепарабельности состояния. Короче говоря, он утверждает, что если частичное транспонирование оператора плотности имеет отрицательные собственные значения, то состояние не может быть сепарабельным. Для определенных размеров, таких как 2x2 и 2x3, этого критерия также достаточно, поэтому его можно использовать в качестве определенного теста на запутанность в этих случаях.

анон1802

В связи с моим предыдущим комментарием, негатив

N

$\mathcal{N}$ обеспечивает меру запутанности, которую можно применять к смешанным состояниям. Другими словами, это сумма абсолютных значений отрицательных собственных значений

ρ^{T_{A}}

$\rho^{T_{A}}$ . Конечно, поскольку критерия PH обычно недостаточно,

N

$\mathcal{N}$ может быть 0 даже для запутанных состояний, так что это не идеальная мера запутанности. Насколько мне известно, основная причина, по которой ему уделяется внимание, заключается в том, что его легко вычислить, в отличие от многих других более сложных мер запутанности.

Ответы (1)

Какую информацию дает энтропия фон Неймана для смешанных состояний?

Что касается вашего второго вопроса, то для смешанных состояний критерий Переса-Городецкого обеспечивает необходимый, но не достаточный критерий сепарабельности состояния. Короче говоря, он утверждает, что если частичное транспонирование оператора плотности имеет отрицательные собственные значения, то состояние не может быть сепарабельным. Для определенных размеров, таких как 2x2 и 2x3, этого критерия также достаточно, поэтому его можно использовать в качестве определенного теста на запутанность в этих случаях.
В связи с моим предыдущим комментарием, негатив $\mathcal{N}$ обеспечивает меру запутанности, которую можно применять к смешанным состояниям. Другими словами, это сумма абсолютных значений отрицательных собственных значений $\rho^{T_{A}}$ . Конечно, поскольку критерия PH обычно недостаточно, $\mathcal{N}$ может быть 0 даже для запутанных состояний, так что это не идеальная мера запутанности. Насколько мне известно, основная причина, по которой ему уделяется внимание, заключается в том, что его легко вычислить, в отличие от многих других более сложных мер запутанности.

НикоПранцо · Answer 1

Прежде всего, вы должны отличать классическую неопределенность от квантовой. Матрица плотности может быть записана как

р "=" \sum ж_{я} | α_{я} ⟩ ⟨ α_{я} |

$\rho=\sum w_i|\alpha_i\rangle\langle\alpha_i|$ где

w_{i}

$w_i$ могут быть классические вероятности, если вы не можете точно сказать, где находится состояние в гильбертовом пространстве, или квантовые, если вы не хотите (или не можете) записать состояние в виде определенного вектора гильбертова пространства .

Классический

В качестве примера возьмем двухуровневую систему и рассмотрим случай, когда вы классически не можете сказать, в каком из двух состояний находится система. В этом случае ваша матрица плотности будет

р "=" \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\rho=\frac{1}{2}|0\rangle\langle0|+\frac{1}{2}|1\rangle\langle1|$ и ваша энтропия будет

S = - T r (ρ \log ρ) = \log 2

$S=-Tr(\rho\log\rho)=\log2$ . Эта энтропия является мерой вашей классической неопределенности в отношении состояния и не имеет ничего общего с квантовой неопределенностью.

квант

Теперь рассмотрим систему, состоящую из двух двухуровневых систем над каждой из них с его гильберовым пространством. $\mathcal{H}_1$ и $\mathcal{H}_2$ . Если вы хотите записать полное гильбертово пространство, вам нужно выполнить тензорное произведение, и у вас будут некоторые векторы, которые нельзя записать в отдельных гильбертовых пространствах. Известный пример - одно из состояний Белла.

| ψ ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ \otimes | 1 ⟩ + | 1 ⟩ \otimes | 0 ⟩) .

$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle\otimes|1\rangle+|1\rangle\otimes|0\rangle\right)~.$ В то время как общее состояние всегда можно записать в базе, где его состояние является одним из самой базы, и поэтому его матрица плотности будет выглядеть как

р "=" (\begin{matrix} 1 & . . . & 0 \\ . & . . . & . \\ 0 & . . . & 0 \end{matrix})

$\rho=\begin{pmatrix}1&...&0\\.&...&.\\0&...&0\end{pmatrix}$ и его энтропия

ρ = - T r (ρ \log ρ) = 0

$\rho=-Tr(\rho\log\rho)=0$ , это неверно для единственной подсистемы состояния Белла, для которой матрица плотности будет получена с помощью оператора следа на гильберовом пространстве другой подсистемы, действующего на полную матрицу плотности:

р_{А} "=" Т р_{Б} (р) "=" \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

$\rho_{A}=Tr_B(\rho)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}~.$

В этом случае энтропия фон Неймана будет $S=-Tr(\rho\log\rho)=\log2$ . Эта энтропия измеряет квантовые корреляции между двумя подсистемами и всегда отлична от нуля, если рассматриваемое вами состояние каким-то образом взаимодействует с чем-то другим (другой подсистемой или средой).

Из классического и максимально запутанного сценария вы можете видеть, что между двумя матрицами плотности нет различий, поэтому, учитывая произвольную матрицу плотности, у вас нет критерия, позволяющего различать два случая, и энтропия фон Неймана будет результат одинаков. Можно показать, что различение запутанной или незапутанной матрицы плотности является NP-сложной проблемой, известной как проблема квантовой разделимости .

Большое спасибо за это очень подробное объяснение. Объясните, пожалуйста, что дает энтропия фон Неймана редуцированной подсистемы , если вся система находится в смешанном состоянии? Является ли это смешением таких понятий, как запутанность и классическая корреляция?
Поскольку тотальная система всегда чиста по определению (в том смысле, что ее можно записать как вектор тотального гильберова пространства), она может быть смешанной только с классической точки зрения. Помимо того, что да, энтропия редуцированной матрицы плотности содержит классические и квантовые корреляции.

Какую информацию дает энтропия фон Неймана для смешанных состояний?

Андреа Пако

анон1802

анон1802

Ответы (1)

НикоПранцо

Андреа Пако

НикоПранцо

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Какая интуиция стоит за изоморфизмом Чоя-Ямиолковского?

Доказательство того, что вы не можете распутать две стороны, если вы работаете только с одной

Можно ли вообще при заданных матрицах плотности подсистем восстановить матрицу плотности всей системы?

Запутанность состояний Вернера

Квантовая книга для студентов, посвященная операторам плотности, смешанным состояниям и запутанности [дубликат]

Означает ли корреляция результатов измерения, что состояние запутано?

Классические и квантовые корреляции в двудольной системе

Классические корреляции в двудольном запутанном смешанном состоянии

В каком состоянии находится один электрон в запутанном состоянии?