Какую математику мне следует изучать, если я хочу получить базовое представление о квантовой механике и особенно уметь использовать уравнение Шредингера.
Хороший кусок формализма в квантовой механике включает широкое использование линейной алгебры. Например, если оператор задан в матричной форме, вы должны знать, как вычислять собственные значения и собственные векторы. Понимание теории групп полезно, но не обязательно на базовом уровне. Это дает вам лучшее понимание формализма для спина, случайного вырождения в атоме водорода и т. д. Ряды и преобразования Фурье должны быть у вас под рукой. Очень часто приходится часто переключаться между представлениями импульсного пространства и реального пространства. Вам следует ознакомиться с различными представлениями дельта-функции Дирака и изучить все приемы, связанные с вычислением интегралов Гаусса.
То, что я описал выше, — это инструменты, которые обычно используются для решения самых разных задач. Однако некоторые математические инструменты могут использоваться только в конкретных примерах. Для практических целей уравнение Шредингера решается в так называемом позиционном базисе. В этом случае ваше уравнение на собственные значения, как правило, является дифференциальным уравнением в частных производных (УЧП). Вы должны научиться решать хотя бы самые простые УЧП. Вы также должны изучить ряд решений дифференциальных уравнений. Специальные функции, такие как полиномы Лежандра, Лагерра, Эйри и т. д., могут быть полезны в некоторых задачах.
Вы должны изучить оператор и вычисления. Вы также должны иметь представление о работе с матрицами.
Перед тем, как углубиться в теорию PDE, специальные функции и весь этот материал, процитированный другими людьми: что касается того, что я понял, вы хотите понять уравнение Шредингера, а не решать его в странных случаях. Я скажу вам то, что я считаю важным, чтобы начать понимать:
линейная алгебра и исчисление
комплексные гильбертовы пространства и скалярные произведения
Есть много книг об этом. Большинство основных книг по QM охватывают по крайней мере что-то о гильбертовых пространствах, операторах и обозначениях Дирака.
Qмеханик
Кеншин