Какая математика нужна, чтобы понять уравнение Шредингера?

Если я сейчас увижу уравнение Шредингера , я увижу только кучу странных символов, но я хочу знать, что оно на самом деле означает. Итак, я прохожу курс линейной алгебры и планирую начать с PDE в следующем месяце. Какая «другая математика» необходима, кроме линейной алгебры и (частных) дифференциальных уравнений, чтобы получить полное представление об этом уравнении?

Поскольку вы скоро начнете курс по УЧП, я полагаю, что вы уже имели дело с исчислением (производные, интегралы и т. д.). Следовательно, этих знаний об УЧП и линейной алгебре будет достаточно, чтобы начать изучение квантовой механики и, в частности, уравнения Шредингера. Прежде чем вы действительно освоите это, вам нужно будет переварить множество других тем, но сначала хорошо получить хотя бы некоторую физическую интуицию.

Ответы (3)

Посмотрите на следующие вопросы, ранее заданные на физике.SE.

Суммируя ответы с моим опытом, вы должны знать линейную алгебру (но, я думаю, лучше знать математику за гильбертовым пространством — в бесконечных измерениях, что актуально для собственных значений), УЧП , немного исчисления (Дирак- дельта функция, преобразование Фурье и др.). Это самое базовое знание, которое необходимо QM. И, конечно же, Статистика и Вероятность.

Если вы знаете некоторые распространенные семейства многочленов (Легандра, Лакерра, Эйри), это будет большим плюсом.

Для некоторых продвинутых тем требуется теория групп .

Но нужно ли знать все эти математические формализмы, чтобы понять суть уравнения? Согласно Википедии, связанной с вопросом, уравнение представляет собой не что иное, как (Общая энергия) = (кинетическая энергия) + (потенциальная энергия). Есть ли что-то еще?
@Zeynel Это все равно, что сказать, что если вы знаете, что сила = масса * ускорение, вы ученый-ракетчик. В конце концов, вся физика сводится к сохранению чего-то (массы, импульса, энергии, заряда), но это не означает, что если вы знаете, что что-то сохраняется, вы понимаете предмет или уравнения.
Более того, математика помогает вам понять природу терминов. Это источник или поглотитель? Линейный или нелинейный? Как будут выглядеть решения в каждом из этих случаев? Как изменится решение при изменении граничных условий? Какова относительная величина терминов? Все это вопросы, на которые, я думаю, нужно уметь отвечать, чтобы сказать, что они понимают суть уравнения.

Чтобы иметь некоторое представление о том, что уравнение

я ℏ ∂ ∂ т Ψ "=" ЧАС   Ψ

как это примерно, вот некоторые эвристики:

Квантомеханические операторы, такие как п , дающие измеримые физические величины, должны содержать информацию о действительных числах (не комплексных). Это обеспечивается самосопряженностью операторов : п † "=" п . Следствием этого является то, что если у вас есть продукт svalar ⟨ Ψ , Φ ⟩ , то для эрмитова оператора у вас есть ⟨ Ψ , п Φ ⟩ "=" ⟨ п † Ψ , Φ ⟩ "=" ⟨ п Ψ , Φ ⟩ . Я не буду здесь вдаваться в различие между самосопряженной и эрмитовой матрицами, но дело в том, что они обобщают понятие симметричной матрицы.

Гамильтонов оператор ЧАС такой "симметричный" оператор

ЧАС † "=" ЧАС ,
а затем я делает физическую интерпретацию Ψ разумный:

Оператор

я "=" − я ℏ   1
является анти -самосопряженным

я † "=" ( − я ℏ   1 ) † "=" − я * ℏ   1 "=" − я ,
и, как следствие, произведение
А "=" − я ℏ ЧАС "=" я ЧАС
также

А † "=" ( я ЧАС ) † "=" ( ЧАС я ) † "=" я † ЧАС † "=" − я ЧАС "=" − А .

Приведение числа я ℏ в уравнении Шредингера с другой стороны уравнение читается

∂ ∂ т Ψ "=" А   Ψ .

(при формальном решении Ψ "=" е А т Ψ 0 .)

мы довольны А быть антисамосопряженным: уравнение Шредингера делает эволюцию во времени унитарной , подобно тому, как в этом примере

http://www.wolframalpha.com/input/?i=matixExp%5B%7B%7B0%2C-1%7D%2C%7B1%2C0%7D%7Dt%5D

экспонента антисимметричной матрицы - это поворот.

Например, если Ψ волновая функция, ⟨ Ψ , Ψ ⟩ понимается как общая вероятность найти частицу/частицы, которые она описывает. Эта величина не менялась во времени. И это обеспечивается А будучи антисамосопряженным:

∂ ∂ т ⟨ Ψ , Ψ ⟩ "=" ⟨ ∂ ∂ т Ψ , Ψ ⟩ + ⟨ Ψ , ∂ ∂ т Ψ ⟩ "=" ⟨ А Ψ , Ψ ⟩ + ⟨ Ψ , А Ψ ⟩ "="
"=" ⟨ А Ψ , Ψ ⟩ + ⟨ А † Ψ , Ψ ⟩ "=" ⟨ А Ψ , Ψ ⟩ + ⟨ ( − А ) Ψ , Ψ ⟩ "=" 0.

⟹ ⟨ Ψ , Ψ ⟩ "=" константа

Простой ответ: все. Я думаю, что это та часть, где вам нужно понимать больше, чем базовый уровень в каждом секторе математики. Овладение исчислением II, линейной алгеброй II, статистикой и вероятностями II является обязательным. Не говоря уже об исчислении с несколькими переменными, дифференциальных уравнениях вплоть до дифференциальной геометрии (которая, конечно, включает тензорное исчисление). И много-много терпения. Боюсь, это не что-то сверхъестественное и требует гораздо большего, чем настойчивость.

Какая математика нужна, чтобы понять уравнение Шредингера?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v