Матричные элементы линейных операторов - требуется ортонормированный базис?

На одном из моих первых занятий по линейной алгебре я узнал, что линейная карта А действующее на векторное пространство, может быть представлено матрицей А я Дж по правилу:

А ( е Дж ) "=" А я Дж е я ,

где е я была некоторая выбранная основа. В квантовой механике правило получения матричных элементов конкретного линейного оператора, по-видимому, совсем другое:

А я Дж "=" ⟨ я | А | Дж ⟩

Я был вполне удовлетворен, когда убедился, что для ортонормированных базисов эти два определения совпадают. Тогда мой вопрос, по сути, заключается в следующем: справедливо ли приведенное выше правило для квантовых операторов только для ортонормированных базисов? Проблема, которую я вижу, если это справедливо для всех баз, заключается в том, что два определения не совпадают. Поэтому, когда я доказал результаты в своем классе линейной алгебры, такие как «след линейной карты является значимым объектом, поскольку след ее матричного представления не зависит от базиса», я использовал первое определение, и поэтому, конечно, он победит . не будет верным, если мы воспользуемся вторым определением?

Согласно этой странице Википедии о матрицах плотности, в третьем уравнении на странице предполагается, что мы можем записать след оператора р А вот так

т р ( р А ) "=" ∑ н ⟨ ты н | р А | ты н ⟩ "=" ∑ н ( р А ) н н ( с е с о н г   р ты л е )

даже если основа { | ты н ⟩ } не является ортонормированным. Не даст ли это другую трассу, отличную от той, которая оценивается по первому правилу для матричных элементов линейной карты? Спасибо.

Ответы (2)

В общем случае это справедливо только для ортонормированных базисов. В оставшейся части этого поста я рассматриваю только конечномерный случай, хотя все можно распространить и на бесконечномерный случай при соответствующих гипотезах. В общем, у вас есть совершенно общее соотношение, справедливое для любого вида базиса:

А я Дж "=" е * я ( А е Дж )
где { е * я } является базисом в двойственном пространстве ЧАС ′ связанный с основанием { е к } начальный ЧАС , полностью определяемый требованиями:
е * я ( е к ) "=" дельта к я .
В этом случае:
А "=" А я Дж
Понятие следа линейного оператора А : ЧАС → ЧАС (не квадратичная форма!) не нуждается в определении существования скалярного произведения. Это следствие понятия сжатия тензоров. В компонентах вы легко видите, что т р ( А ) "=" ∑ я А я я не зависит от выбора базиса.

При наличии скалярного произведения, используя ортонормированные базисы, весь общий формализм, который я кратко представил, специализируется на стандартном, как вы правильно написали.

Спасибо --- значит ли это, что статья в Википедии, на которую я ссылаюсь, неверна?
У меня нет времени проверять, однако, если в нем говорится, что трасса может быть вычислена с использованием скалярного произведения И базиса, который не является ортонормированным, это явно неверно!

I) В конечномерном векторном пространстве В , след Т р А "=" ∑ я А я я линейной карты А : В → В можно оценить по произвольному основанию ( е я ) я "=" 1 , … , н . Это связано с тем, что трасса инвариантна относительно общих преобразований подобия .

II) Примечание. В частности, понятие скалярного произведения, нормы, ортогональности и т. д. не является необходимым для определения следа.

III) Существуют соответствующие обобщения для бесконечномерных векторных пространств.

Матричные элементы линейных операторов - требуется ортонормированный базис?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v